Tentukan turunan fungsi berikut.f(x)=x(x+5)/(2x^2+x-2)

f'(x) = (-9x^2 - 4x - 10) / (2x^2 + x - 2)^2

Pembahasan

Untuk menentukan turunan dari fungsi f(x) = x(x+5)/(2x^2+x-2), kita perlu menggunakan aturan kuosien. Aturan kuosien menyatakan bahwa jika f(x) = g(x)/h(x), maka f'(x) = [g'(x)h(x) - g(x)h'(x)] / [h(x)]^2.

Pertama, kita perlu menyederhanakan pembilang: g(x) = x(x+5) = x^2 + 5x.
Kemudian, kita cari turunannya: g'(x) = 2x + 5.

Selanjutnya, kita identifikasi penyebutnya: h(x) = 2x^2 + x - 2.
Turunannya adalah: h'(x) = 4x + 1.

Sekarang, kita substitusikan g(x), g'(x), h(x), dan h'(x) ke dalam rumus aturan kuosien:
f'(x) = [(2x + 5)(2x^2 + x - 2) - (x^2 + 5x)(4x + 1)] / (2x^2 + x - 2)^2

Selanjutnya, kita ekspansikan dan sederhanakan bagian pembilang:
(2x + 5)(2x^2 + x - 2) = 4x^3 + 2x^2 - 4x + 10x^2 + 5x - 10 = 4x^3 + 12x^2 + x - 10
(x^2 + 5x)(4x + 1) = 4x^3 + x^2 + 20x^2 + 5x = 4x^3 + 21x^2 + 5x

Sekarang kurangkan hasil ekspansi kedua:
(4x^3 + 12x^2 + x - 10) - (4x^3 + 21x^2 + 5x)
= 4x^3 + 12x^2 + x - 10 - 4x^3 - 21x^2 - 5x
= -9x^2 - 4x - 10

Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah:
f'(x) = (-9x^2 - 4x - 10) / (2x^2 + x - 2)^2