Tentukan unsur-unsur elips dengan persamaan berikut

Titik pusat (4,3), fokus (2,3) & (6,3), puncak (4±2√5, 3) & (4, 7), sumbu utama y=3, sumbu sekawan x=4.

Pembahasan

Untuk menentukan unsur-uns elips dari persamaan (x - 4)^2/20 + (y - 3)^2/16 = 1:

1. **Titik Pusat (h, k):** Dari persamaan, kita dapat melihat bahwa h = 4 dan k = 3. Jadi, titik pusat elips adalah (4, 3).

2. **Sumbu Mayor dan Minor:** Karena penyebut di bawah (x - 4)^2 (yaitu 20) lebih besar dari penyebut di bawah (y - 3)^2 (yaitu 16), sumbu mayor berada sejajar dengan sumbu x.
   - Panjang sumbu mayor (2a): a^2 = 20, maka a = sqrt(20) = 2*sqrt(5). Jadi, panjang sumbu mayor adalah 4*sqrt(5).
   - Panjang sumbu minor (2b): b^2 = 16, maka b = sqrt(16) = 4. Jadi, panjang sumbu minor adalah 8.

3. **Jarak dari Pusat ke Fokus (c):** Menggunakan rumus c^2 = a^2 - b^2.
   c^2 = 20 - 16 = 4
   c = sqrt(4) = 2.

4. **Titik Fokus:** Karena sumbu mayor sejajar sumbu x, titik fokus adalah (h ± c, k).
   - Fokus 1: (4 + 2, 3) = (6, 3)
   - Fokus 2: (4 - 2, 3) = (2, 3)

5. **Titik Puncak:** Titik puncak berada pada ujung sumbu mayor.
   - Puncak 1: (h + a, k) = (4 + 2*sqrt(5), 3)
   - Puncak 2: (h - a, k) = (4 - 2*sqrt(5), 3)
   Titik puncak pada sumbu minor adalah (h, k ± b).
   - Puncak 3: (4, 3 + 4) = (4, 7)
   - Puncak 4: (4, 3 - 4) = (4, -1)

6. **Persamaan Sumbu Utama:** Sumbu utama adalah garis yang melalui pusat dan fokus. Karena sumbu mayor sejajar sumbu x, persamaan sumbu utama adalah y = k, yaitu y = 3.

7. **Persamaan Sumbu Sekawan:** Sumbu sekawan adalah garis yang melalui pusat dan tegak lurus sumbu utama. Persamaan sumbu sekawan adalah x = h, yaitu x = 4.

**Sketsa Grafik:**
Elips berpusat di (4, 3). Sumbu mayor horizontal dengan panjang 4*sqrt(5) (sekitar 8.94) dan sumbu minor vertikal dengan panjang 8. Titik fokus berada di (2, 3) dan (6, 3). Titik puncak berada di (4 ± 2*sqrt(5), 3) dan (4, 3 ± 4).