Tentukanlah solusi dan himpunan penyelesaian dari SPNLDV

Solusi: x = 1/2, y = 2/3 atau x = 0, y = 0. Himpunan penyelesaian: {(1/2, 2/3), (0,0)}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPNLDV) berikut:
1) 4x + 3y = 12xy
2) 8x - 5y = 2xy

Kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Namun, karena adanya perkalian variabel (xy), kita perlu melakukan manipulasi terlebih dahulu. Salah satu cara adalah dengan membagi kedua persamaan dengan xy (dengan asumsi x ≠ 0 dan y ≠ 0).

Persamaan 1 dibagi xy:
(4x/xy) + (3y/xy) = 12xy/xy
4/y + 3/x = 12

Persamaan 2 dibagi xy:
(8x/xy) - (5y/xy) = 2xy/xy
8/y - 5/x = 2

Sekarang, kita punya sistem persamaan baru dengan variabel baru, misal a = 1/x dan b = 1/y:
1') 3a + 4b = 12
2') -5a + 8b = 2

Kita bisa gunakan metode eliminasi. Kalikan persamaan 1' dengan 2:
6a + 8b = 24

Kurangkan persamaan 2' dari hasil perkalian ini:
(6a + 8b) - (-5a + 8b) = 24 - 2
6a + 8b + 5a - 8b = 22
11a = 22
a = 2

Substitusikan nilai a = 2 ke persamaan 1':
3(2) + 4b = 12
6 + 4b = 12
4b = 12 - 6
4b = 6
b = 6/4 = 3/2

Karena a = 1/x dan b = 1/y:
1/x = 2  => x = 1/2
1/y = 3/2 => y = 2/3

Solusi dari SPNLDV adalah x = 1/2 dan y = 2/3.
Himpunan penyelesaiannya adalah {(1/2, 2/3)}.

Perlu diperiksa apakah ada solusi lain jika x=0 atau y=0. Jika x=0, kedua persamaan menjadi 3y=0 dan -5y=0, yang berarti y=0. Namun, pembagian dengan xy tidak valid jika x=0 atau y=0. Jadi, solusi (0,0) perlu diperiksa pada persamaan awal: 4(0)+3(0)=12(0)(0) => 0=0 (benar), 8(0)-5(0)=2(0)(0) => 0=0 (benar). Jadi, (0,0) juga merupakan solusi.