Tunjukkan bahwa: akar(1+a(a+1)(a+2)(a+3))=a^2+3a+1

Identitas terbukti dengan manipulasi aljabar.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa \(\sqrt{1+a(a+1)(a+2)(a+3)} = a^2+3a+1\), kita dapat mengalikan suku-suku di dalam akar:

a(a+1)(a+2)(a+3) = a(a+3)(a+1)(a+2)
= (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2)

Misalkan x = a^2 + 3a, maka:
(a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = x(x + 2) = x^2 + 2x

Jadi, ekspresi di dalam akar menjadi:
1 + x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2

Mengganti kembali x = a^2 + 3a:
(a^2 + 3a + 1)^2

Maka, \(\sqrt{1+a(a+1)(a+2)(a+3)} = \sqrt{(a^2+3a+1)^2} = a^2+3a+1\).

Untuk menunjukkan bahwa \(\sqrt{16+a(a+2)(a+4)(a+6)} = a^2+6a+4\), kita dapat mengalikan suku-suku di dalam akar:

a(a+2)(a+4)(a+6) = a(a+6)(a+2)(a+4)
= (a^2 + 6a)(a^2 + 6a + 8)

Misalkan y = a^2 + 6a, maka:
(a^2 + 6a)(a^2 + 6a + 8) = y(y + 8) = y^2 + 8y

Jadi, ekspresi di dalam akar menjadi:
16 + y^2 + 8y = y^2 + 8y + 16 = (y + 4)^2

Mengganti kembali y = a^2 + 6a:
(a^2 + 6a + 4)^2

Maka, \(\sqrt{16+a(a+2)(a+4)(a+6)} = \sqrt{(a^2+6a+4)^2} = a^2+6a+4\).