Tentukan himpunan penyelesaian dari |x-1|=2x+3

Himpunan penyelesaiannya adalah $\{ -2/3 \}$

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari $|x-1| = 2x+3$, kita perlu mempertimbangkan dua kasus berdasarkan definisi nilai mutlak:

**Kasus 1: $x-1 
less 0$ atau $x < 1$**
Dalam kasus ini, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
Persamaan menjadi:
$1 - x = 2x + 3$
$1 - 3 = 2x + x$
$-2 = 3x$
$x = -2/3$

Kita perlu memeriksa apakah solusi ini memenuhi syarat kasus ini, yaitu $x < 1$. Karena $-2/3 < 1$, maka $x = -2/3$ adalah solusi yang valid.

**Kasus 2: $x-1 
less 0$ atau $x 
less 1$**
Dalam kasus ini, $|x-1| = x-1$.
Persamaan menjadi:
$x - 1 = 2x + 3$
$x - 2x = 3 + 1$
$-x = 4$
$x = -4$

Kita perlu memeriksa apakah solusi ini memenuhi syarat kasus ini, yaitu $x 
less 1$. Karena $-4 < 1$, maka $x = -4$ *seharusnya* valid berdasarkan syarat awal. Namun, kita juga harus memeriksa apakah solusi ini memenuhi persamaan asli setelah substitusi nilai mutlak.

Mari kita substitusikan $x = -4$ ke dalam persamaan asli $|x-1| = 2x+3$:
$|-4 - 1| = 2(-4) + 3$
$|-5| = -8 + 3$
$5 = -5$

Karena $5 
less -5$, maka $x = -4$ bukan solusi yang valid (ini adalah solusi asing atau *extraneous solution*).

Oleh karena itu, satu-satunya solusi yang valid adalah $x = -2/3$.

Himpunan penyelesaiannya adalah $\{ -2/3 \}$