Turunan dari fungsi f(x)=(tanx)/(cosx) adalah f'(x)=....

secx(1 + 2tan^2 x)

Pembahasan

Untuk mencari turunan dari fungsi f(x) = (tanx)/(cosx), kita dapat menggunakan aturan pembagian (quotient rule) atau menyederhanakan fungsi terlebih dahulu.
Mari kita sederhanakan fungsi terlebih dahulu:
f(x) = (tanx)/(cosx)
Kita tahu bahwa tanx = (sinx)/(cosx).
Maka,
f(x) = [(sinx)/(cosx)] / (cosx)
f(x) = (sinx) / (cosx * cosx)
f(x) = (sinx) / (cos^2 x)
f(x) = sinx * (cosx)^(-2)

Sekarang kita gunakan aturan rantai (chain rule) untuk mencari turunan:
Misalkan u = cosx, maka du/dx = -sinx.
f(x) = sinx * u^(-2)

Ini masih rumit. Mari kita gunakan aturan pembagian pada f(x) = (sinx)/(cos^2 x).
Misalkan u = sinx, maka u' = cosx.
Misalkan v = cos^2 x, maka v' = 2 * cosx * (-sinx) = -2sinxcosx.

Menurut aturan pembagian, f'(x) = (u'v - uv') / v^2
f'(x) = [ (cosx)(cos^2 x) - (sinx)(-2sinxcosx) ] / (cos^2 x)^2
f'(x) = [ cos^3 x + 2sin^2 x cosx ] / cos^4 x
f'(x) = cosx (cos^2 x + 2sin^2 x) / cos^4 x
f'(x) = (cos^2 x + 2sin^2 x) / cos^3 x
f'(x) = (cos^2 x + sin^2 x + sin^2 x) / cos^3 x
f'(x) = (1 + sin^2 x) / cos^3 x

Mari kita coba cara lain dengan menyederhanakan f(x) = tanx * secx.
Kita tahu bahwa turunan dari secx adalah secx tanx.
Kita tahu bahwa turunan dari tanx adalah sec^2 x.

Jika f(x) = tanx / cosx.
Kita bisa tulis f(x) = tanx * secx.
Turunan dari tanx adalah sec^2 x.
Turunan dari secx adalah secx tanx.

Menggunakan aturan perkalian: (uv)' = u'v + uv'
Misalkan u = tanx, u' = sec^2 x.
Misalkan v = secx, v' = secx tanx.
f'(x) = (sec^2 x)(secx) + (tanx)(secx tanx)
f'(x) = sec^3 x + secx tan^2 x
f'(x) = secx (sec^2 x + tan^2 x)
Kita tahu sec^2 x = 1 + tan^2 x.
f'(x) = secx (1 + tan^2 x + tan^2 x)
f'(x) = secx (1 + 2tan^2 x)

Mari kita kembali ke f(x) = sinx / cos^2 x.
f'(x) = (1 + sin^2 x) / cos^3 x.
Kita tahu sin^2 x = 1 - cos^2 x.
f'(x) = (1 + 1 - cos^2 x) / cos^3 x = (2 - cos^2 x) / cos^3 x.
Ini tidak sama dengan secx(1 + 2tan^2 x).

Mari kita cek ulang turunan f(x) = tanx / cosx.
Kita bisa tulis f(x) = sinx / cos^2 x.
Menggunakan aturan pembagian:
u = sinx, u' = cosx
v = cos^2 x, v' = -2sinxcosx
f'(x) = (u'v - uv') / v^2
f'(x) = (cosx * cos^2 x - sinx * (-2sinxcosx)) / (cos^2 x)^2
f'(x) = (cos^3 x + 2sin^2 x cosx) / cos^4 x
f'(x) = cosx (cos^2 x + 2sin^2 x) / cos^4 x
f'(x) = (cos^2 x + 2sin^2 x) / cos^3 x
Substitusi cos^2 x = 1 - sin^2 x:
f'(x) = (1 - sin^2 x + 2sin^2 x) / cos^3 x
f'(x) = (1 + sin^2 x) / cos^3 x

Sekarang mari kita coba f(x) = tanx * secx.
f'(x) = secx (1 + 2tan^2 x).
Kita tahu secx = 1/cosx dan tanx = sinx/cosx.
f'(x) = (1/cosx) * (1 + 2 * (sin^2 x / cos^2 x))
f'(x) = (1/cosx) * ( (cos^2 x + 2sin^2 x) / cos^2 x )
f'(x) = (cos^2 x + 2sin^2 x) / cos^3 x
Ini cocok.

Jadi, turunan dari fungsi f(x) = (tanx)/(cosx) adalah f'(x) = secx(1 + 2tan^2 x) atau (1 + sin^2 x) / cos^3 x.
Bentuk yang paling umum digunakan adalah secx(1 + 2tan^2 x).
Atau kita bisa sederhanakan lebih lanjut:
f'(x) = secx + 2secx tan^2 x.
Karena secx = 1/cosx dan tanx = sinx/cosx, maka tan^2 x = sin^2 x / cos^2 x.
f'(x) = 1/cosx + 2 * (1/cosx) * (sin^2 x / cos^2 x)
f'(x) = 1/cosx + 2sin^2 x / cos^3 x
f'(x) = (cos^2 x + 2sin^2 x) / cos^3 x
f'(x) = (cos^2 x + sin^2 x + sin^2 x) / cos^3 x
f'(x) = (1 + sin^2 x) / cos^3 x

Jawaban yang paling ringkas dan umum adalah secx(1 + 2tan^2 x).
Jika kita ingin dalam bentuk cos dan sin:
(1 + sin^2 x) / cos^3 x.