Turunan pertama dari f(x)=(1 - cos x)/sec x adalah...

f'(x) = -sin x + 2 sin x cos x atau f'(x) = -sin x + sin(2x).

Pembahasan

Untuk mencari turunan pertama dari fungsi f(x) = (1 - cos x) / sec x, kita perlu menggunakan aturan pembagian turunan dan identitas trigonometri.

Pertama, kita bisa menyederhanakan fungsi f(x) menggunakan identitas trigonometri: sec x = 1/cos x.

f(x) = (1 - cos x) / (1/cos x)
f(x) = (1 - cos x) * cos x
f(x) = cos x - cos^2 x

Sekarang kita akan mencari turunan pertama dari f(x) = cos x - cos^2 x.

Turunan dari cos x adalah -sin x.
Untuk turunan dari cos^2 x, kita gunakan aturan rantai. Misalkan u = cos x, maka kita mencari turunan dari u^2. Turunan dari u^2 adalah 2u * du/dx.
Di sini, du/dx = turunan dari cos x = -sin x.
Jadi, turunan dari cos^2 x adalah 2(cos x)(-sin x) = -2 sin x cos x.

Dengan menggunakan identitas trigonometri, -2 sin x cos x = -sin(2x).

Maka, turunan pertama dari f(x) adalah:
f'(x) = turunan(cos x) - turunan(cos^2 x)
f'(x) = -sin x - (-2 sin x cos x)
f'(x) = -sin x + 2 sin x cos x

Atau menggunakan identitas sin(2x):
f'(x) = -sin x + sin(2x)

Jika kita memilih untuk tidak menyederhanakan -2 sin x cos x menjadi -sin(2x), maka jawabannya adalah -sin x + 2 sin x cos x.

Mari kita periksa apakah ada cara lain dengan menggunakan aturan pembagian turunan secara langsung pada bentuk awal f(x) = (1 - cos x) / sec x.
Misalkan u = 1 - cos x, maka du/dx = sin x.
Misalkan v = sec x, maka dv/dx = sec x tan x.

Menurut aturan pembagian turunan, (u/v)' = (u'v - uv') / v^2.

f'(x) = [(sin x)(sec x) - (1 - cos x)(sec x tan x)] / (sec x)^2

Sederhanakan bagian dalam kurung siku:
(sin x)(sec x) = sin x * (1/cos x) = tan x.
(1 - cos x)(sec x tan x) = (1 - cos x)(1/cos x)(sin x/cos x) = (1 - cos x)(sin x / cos^2 x) = (sin x - sin x cos x) / cos^2 x.

Jadi, bagian dalam kurung siku menjadi:
tan x - (sin x - sin x cos x) / cos^2 x
= sin x / cos x - (sin x - sin x cos x) / cos^2 x
= (sin x cos x - (sin x - sin x cos x)) / cos^2 x
= (sin x cos x - sin x + sin x cos x) / cos^2 x
= (2 sin x cos x - sin x) / cos^2 x

Sekarang bagi dengan v^2 = (sec x)^2 = 1/cos^2 x.

f'(x) = [(2 sin x cos x - sin x) / cos^2 x] / (1 / cos^2 x)
f'(x) = (2 sin x cos x - sin x) / cos^2 x * cos^2 x
f'(x) = 2 sin x cos x - sin x

Menggunakan identitas 2 sin x cos x = sin(2x), maka:
f'(x) = sin(2x) - sin x.

Kedua metode memberikan hasil yang sama: -sin x + 2 sin x cos x atau -sin x + sin(2x).