x Jika 3^(x/y) adalah penyederhanaan dari

15

Pembahasan

Kita perlu menyederhanakan ekspresi akar(2akar(9akar(27))) terlebih dahulu.

Kita bisa mengubah bentuk akar menjadi pangkat pecahan:
akar(x) = x^(1/2)
akar(akar(x)) = (x^(1/2))^(1/2) = x^(1/4)
akar(akar(akar(x))) = (x^(1/4))^(1/2) = x^(1/8)

Sekarang kita terapkan pada ekspresi:
akar(2akar(9akar(27))) = (2 * (9 * (27)^(1/2))^(1/2))^(1/2)

Mari kita sederhanakan dari dalam:
27 = 3^3
akar(27) = (3^3)^(1/2) = 3^(3/2)

9 * akar(27) = 3^2 * 3^(3/2) = 3^(2 + 3/2) = 3^(4/2 + 3/2) = 3^(7/2)

akar(9akar(27)) = (3^(7/2))^(1/2) = 3^(7/4)

2 * akar(9akar(27)) = 2 * 3^(7/4)

akar(2akar(9akar(27))) = (2 * 3^(7/4))^(1/2) = 2^(1/2) * 3^((7/4)*(1/2)) = 2^(1/2) * 3^(7/8)

Namun, bentuk soalnya adalah 3^(x/y) adalah penyederhanaan dari akar(2akar(9akar(27))). Ini menyiratkan bahwa hasil akhirnya harus dalam basis 3. Ada kemungkinan interpretasi soal yang berbeda, yaitu ekspresi tersebut adalah 3 dipangkatkan sesuatu. Mari kita coba interpretasi lain:

Jika soalnya adalah akar(akar(akar(27^2 * 9^2 * 2))) atau sejenisnya, maka akan lebih mudah.

Mari kita asumsikan ekspresi tersebut adalah sebuah bentuk yang dapat disederhanakan menjadi 3^(x/y).

Kita punya 3^(7/8) dari bagian akar(9akar(27)).
Mari kita periksa ulang soalnya. Jika soalnya adalah menyederhanakan ekspresi agar menjadi basis 3.

Mari kita coba bentuk akar sebagai berikut:
akar(2akar(9akar(27))) = akar(2) * akar(akar(9)) * akar(akar(akar(27)))
= 2^(1/2) * (9^(1/2))^(1/2) * (27^(1/2))^(1/2)
= 2^(1/2) * 9^(1/4) * 27^(1/8)
= 2^(1/2) * (3^2)^(1/4) * (3^3)^(1/8)
= 2^(1/2) * 3^(2/4) * 3^(3/8)
= 2^(1/2) * 3^(1/2) * 3^(3/8)
= 2^(1/2) * 3^(4/8 + 3/8)
= 2^(1/2) * 3^(7/8)

Ini masih belum dalam bentuk 3^(x/y).

Ada kemungkinan soalnya adalah menyederhanakan ekspresi yang hasilnya adalah 3 dipangkatkan sesuatu.

Coba kita ubah semua menjadi basis 3:
akar(2akar(9akar(27))) = (2 * (9 * (27)^(1/2))^(1/2))^(1/2)
= (2 * (3^2 * (3^3)^(1/2))^(1/2))^(1/2)
= (2 * (3^2 * 3^(3/2))^(1/2))^(1/2)
= (2 * (3^(2 + 3/2))^(1/2))^(1/2)
= (2 * (3^(7/2))^(1/2))^(1/2)
= (2 * 3^(7/4))^(1/2)
= 2^(1/2) * 3^(7/8)

Jika ekspresi tersebut adalah 3^(x/y), maka kita harus memiliki basis 3 saja. Kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal atau interpretasi.

Mari kita coba interpretasi lain: $\sqrt[n]{a\sqrt[m]{b\sqrt[p]{c}}} = a^{1/n} b^{1/(nm)} c^{1/(nmp)}$.
Dalam kasus ini, akar pertama adalah akar kuadrat (n=2), akar kedua adalah akar kuadrat (m=2), akar ketiga adalah akar kuadrat (p=2).

akar(2akar(9akar(27))) = $2^{1/2} \times 9^{1/(2 \times 2)} \times 27^{1/(2 \times 2 \times 2)}$
= $2^{1/2} \times 9^{1/4} \times 27^{1/8}$
= $2^{1/2} \times (3^2)^{1/4} \times (3^3)^{1/8}$
= $2^{1/2} \times 3^{2/4} \times 3^{3/8}$
= $2^{1/2} \times 3^{1/2} \times 3^{3/8}$
= $2^{1/2} \times 3^{4/8 + 3/8}$
= $2^{1/2} \times 3^{7/8}$

Jika hasil penyederhanaannya adalah $3^{x/y}$, maka ekspresi awal seharusnya hanya mengandung basis 3.

Mari kita asumsikan soalnya adalah: $\sqrt[\sqrt[\sqrt{27}]{9}}{2}$ atau ada kesalahan pengetikan.

Jika kita mengabaikan angka 2 di depan akar pertama, maka:
akar(9akar(27)) = $9^{1/4} \times 27^{1/8} = (3^2)^{1/4} \times (3^3)^{1/8} = 3^{2/4} \times 3^{3/8} = 3^{1/2} \times 3^{3/8} = 3^{4/8+3/8} = 3^{7/8}$.
Jika ini disamakan dengan $3^{x/y}$, maka $x/y = 7/8$. Maka $x=7$ dan $y=8$. $x+y = 7+8=15$.

Namun, soalnya jelas ada angka 2.

Mari kita coba soal yang serupa: Jika $27^{x/y}$ adalah penyederhanaan dari $\sqrt[3]{3\sqrt[2]{9\sqrt[2]{27}}}$.
$\(3\sqrt[2]{9\sqrt[2]{27}}\\) = $3 \times (9 \times 27^{1/2})^{1/2} = 3 \times (3^2 \times (3^3)^{1/2})^{1/2} = 3 \times (3^2 \times 3^{3/2})^{1/2} = 3 \times (3^{7/2})^{1/2} = 3 \times 3^{7/4} = 3^{1+7/4} = 3^{11/4}$.
$\(3\sqrt[2]{9\sqrt[2]{27}}\\) $^{(1/3)}$ = $(3^{11/4})^{1/3} = 3^{11/12}$.
Jika ini sama dengan $27^{x/y} = (3^3)^{x/y} = 3^{3x/y}$. Maka $11/12 = 3x/y$. $x/y = 11/36$.

Kembali ke soal awal: $3^{x/y}$ adalah penyederhanaan dari $\sqrt{2\sqrt{9\sqrt{27}}}$.
Kita dapatkan $\sqrt{2\sqrt{9\sqrt{27}}} = 2^{1/2} \times 3^{7/8}$.
Jika hasil penyederhanaannya adalah $3^{x/y}$, maka kita harus mengabaikan faktor $2^{1/2}$ atau ada kesalahan dalam soal.

Asumsi: Soal tersebut seharusnya menghasilkan basis 3 saja, atau ada kesalahan pengetikan.

Jika kita mengasumsikan ekspresi tersebut adalah $\sqrt[8]{3^7}$ yang merupakan hasil dari menyederhanakan bagian basis 3, maka $x/y = 7/8$.
Maka $x=7$ dan $y=8$.
$x+y = 7+8 = 15$.

Tanpa klarifikasi lebih lanjut atau koreksi pada soal, kita terpaksa membuat asumsi.

Asumsi: Bagian numerik (2) diabaikan atau ada konteks lain yang hilang.
Dengan asumsi bahwa ekspresi yang disederhanakan adalah $3^{7/8}$, maka $x/y = 7/8$.
Nilai $x=7$ dan $y=8$.
$x+y = 7+8 = 15$.

Jika soalnya adalah $\sqrt[2]{9\sqrt[2]{27}}$ maka $3^{7/8}$. $x=7, y=8$. $x+y=15$.