(|x|)/(x^(2)-4)<(1)/(3) mempunyai penyelesaian...

x ∈ (-∞, -4) ∪ (-2, 2) ∪ (4, ∞)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan |x|/(x^2-4) < 1/3, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:

Kasus 1: x^2 - 4 > 0 (yaitu, x < -2 atau x > 2)
Dalam kasus ini, kita bisa mengalikan kedua sisi dengan 3(x^2 - 4) tanpa mengubah arah pertidaksamaan:
3|x| < x^2 - 4

Jika x ≥ 0 (dan x > 2), maka |x| = x:
3x < x^2 - 4
0 < x^2 - 3x - 4
0 < (x - 4)(x + 1)
Karena kita di kasus x > 2, maka penyelesaiannya adalah x > 4.

Jika x < 0 (dan x < -2), maka |x| = -x:
3(-x) < x^2 - 4
-3x < x^2 - 4
0 < x^2 + 3x - 4
0 < (x + 4)(x - 1)
Karena kita di kasus x < -2, maka penyelesaiannya adalah x < -4.

Kasus 2: x^2 - 4 < 0 (yaitu, -2 < x < 2)
Dalam kasus ini, kita perlu membalik arah pertidaksamaan saat mengalikan dengan 3(x^2 - 4):
3|x| > x^2 - 4

Jika 0 ≤ x < 2, maka |x| = x:
3x > x^2 - 4
0 > x^2 - 3x - 4
0 > (x - 4)(x + 1)
Karena kita di kasus 0 ≤ x < 2, maka penyelesaiannya adalah 0 ≤ x < 2.

Jika -2 < x < 0, maka |x| = -x:
3(-x) > x^2 - 4
-3x > x^2 - 4
0 > x^2 + 3x - 4
0 > (x + 4)(x - 1)
Karena kita di kasus -2 < x < 0, maka penyelesaiannya adalah -2 < x < 0.

Menggabungkan semua penyelesaian:
Dari Kasus 1: x < -4 atau x > 4
Dari Kasus 2: -2 < x < 0 atau 0 ≤ x < 2 (yang bisa disederhanakan menjadi -2 < x < 2)

Penyelesaian akhir adalah gabungan dari semua kasus, dengan memperhatikan domain awal x^2 - 4 ≠ 0 (x ≠ 2 dan x ≠ -2).
Penyelesaiannya adalah x ∈ (-∞, -4) ∪ (-2, 0) ∪ [0, 2) ∪ (4, ∞).
Namun, perlu diperhatikan bahwa x=0 tidak membuat penyebut nol, jadi kita bisa menggabungkan (-2, 0) dan [0, 2) menjadi (-2, 2).

Penyelesaian akhir yang lebih tepat adalah: x ∈ (-∞, -4) ∪ (-2, 2) ∪ (4, ∞).