Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 cm

Volume maksimum kotak yang terbentuk adalah 18 cm³, dicapai ketika sisi persegi yang dipotong di setiap sudut adalah 1 cm.

Pembahasan

Untuk menentukan volume maksimum kotak tanpa tutup yang dibentuk dari selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 cm dan panjang 8 cm, setelah dipotong pada keempat sudutnya berbentuk persegi dengan sisi x cm, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Memahami Permasalahan:** Sebuah karton persegi panjang berukuran 8 cm x 5 cm akan dipotong pada keempat sudutnya dengan persegi berukuran x cm x x cm. Sisa karton kemudian dilipat menjadi kotak tanpa tutup. Kita perlu mencari nilai x yang menghasilkan volume kotak maksimum.

2.  **Menentukan Dimensi Kotak:**
    *   Panjang karton awal = 8 cm. Setelah dipotong x cm di kedua sisi, panjang kotak (p) = 8 - 2x cm.
    *   Lebar karton awal = 5 cm. Setelah dipotong x cm di kedua sisi, lebar kotak (l) = 5 - 2x cm.
    *   Tinggi kotak (t) adalah sisi dari potongan persegi di sudut, yaitu x cm.

3.  **Menentukan Fungsi Volume:** Volume (V) kotak adalah hasil kali panjang, lebar, dan tinggi:
    V(x) = p * l * t
    V(x) = (8 - 2x) * (5 - 2x) * x

4.  **Menjabarkan Fungsi Volume:**
    V(x) = (40 - 16x - 10x + 4x²) * x
    V(x) = (40 - 26x + 4x²) * x
    V(x) = 4x³ - 26x² + 40x

5.  **Mencari Nilai Maksimum Menggunakan Turunan:** Untuk mencari volume maksimum, kita perlu mencari turunan pertama V(x) terhadap x dan menyamakannya dengan nol.
    V'(x) = dV/dx = 12x² - 52x + 40

6.  **Menyelesaikan Persamaan Turunan:** Samakan V'(x) dengan 0:
    12x² - 52x + 40 = 0
    Bagi dengan 4:
    3x² - 13x + 10 = 0

    Gunakan rumus kuadratik (x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a):
    a = 3, b = -13, c = 10
    x = [13 ± sqrt((-13)² - 4 * 3 * 10)] / (2 * 3)
    x = [13 ± sqrt(169 - 120)] / 6
    x = [13 ± sqrt(49)] / 6
    x = [13 ± 7] / 6

    Dua solusi untuk x adalah:
    x₁ = (13 + 7) / 6 = 20 / 6 = 10/3 cm
    x₂ = (13 - 7) / 6 = 6 / 6 = 1 cm

7.  **Menentukan Nilai x yang Memungkinkan:** Nilai x harus memenuhi syarat bahwa panjang dan lebar kotak tidak negatif:
    *   8 - 2x > 0  => 2x < 8 => x < 4
    *   5 - 2x > 0  => 2x < 5 => x < 2.5
    Jadi, nilai x harus lebih kecil dari 2.5 cm.

    Dari kedua solusi yang diperoleh (10/3 cm dan 1 cm), hanya x = 1 cm yang memenuhi syarat x < 2.5 cm. Nilai x = 10/3 cm (sekitar 3.33 cm) tidak memungkinkan karena akan menghasilkan lebar negatif (5 - 2*(10/3) = 5 - 20/3 = -5/3).

8.  **Menghitung Volume Maksimum:** Substitusikan nilai x = 1 cm ke dalam fungsi volume V(x):
    V(1) = 4(1)³ - 26(1)² + 40(1)
    V(1) = 4 - 26 + 40
    V(1) = 18 cm³

    Sebagai verifikasi, kita bisa menghitung volume untuk x = 10/3, namun karena tidak memenuhi syarat, kita tidak perlu melanjutkannya.

9.  **Menggunakan Uji Turunan Kedua (Opsional):** Untuk memastikan bahwa x = 1 cm memberikan volume maksimum, kita bisa menggunakan turunan kedua:
    V''(x) = 24x - 52
    V''(1) = 24(1) - 52 = 24 - 52 = -28.
    Karena V''(1) negatif, maka pada x = 1 cm terjadi nilai maksimum.

Kesimpulan:
Volume maksimum kotak yang terbentuk adalah 18 cm³ ketika sisi persegi yang dipotong di setiap sudut adalah 1 cm.