Bidang empat T.ABC mempunyai alas segitiga siku-siku sama

Besar sudut antara TBC dan bidang alas adalah 60°.

Pembahasan

Bidang empat T.ABC memiliki alas segitiga siku-siku sama kaki ABC, dengan AB = AC dan BC = 8 cm. Panjang TA = 4√3 cm dan TA tegak lurus pada bidang alas.
Kita perlu mencari besar sudut antara bidang TBC dan bidang alas ABC.

1. Identifikasi Garis
- Bidang alas: ABC
- Bidang miring: TBC
- Garis potong kedua bidang: BC

2. Cari Garis pada Bidang TBC yang Tegak Lurus BC
Karena alasnya adalah segitiga siku-siku sama kaki ABC dengan siku-siku di A, maka AB = AC. Kita dapat mencari panjang AB dan AC menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ABC:
AB² + AC² = BC²
2AB² = 8²
2AB² = 64
AB² = 32
AB = √32 = 4√2 cm. Jadi, AB = AC = 4√2 cm.

Karena TA tegak lurus bidang alas, maka TA tegak lurus dengan setiap garis di bidang alas yang melalui A. Ini berarti TA tegak lurus AB dan TA tegak lurus AC.

Untuk mencari sudut antara bidang TBC dan bidang alas, kita perlu mencari dua garis, satu di setiap bidang, yang bertemu pada garis potong BC, dan keduanya tegak lurus BC.

Karena segitiga ABC sama kaki dengan AB = AC, maka garis tinggi dari A ke BC akan jatuh di titik tengah BC. Misalkan titik tengah BC adalah M. Maka AM tegak lurus BC.

Dalam segitiga ABC, AM adalah garis tinggi. Segitiga ABM adalah segitiga siku-siku di M.
BM = MC = BC/2 = 8/2 = 4 cm.

Sekarang kita perlu mencari panjang AM:
AM² + BM² = AB²
AM² + 4² = (4√2)²
AM² + 16 = 32
AM² = 16
AM = 4 cm.

Selanjutnya, kita perlu mencari garis pada bidang TBC yang tegak lurus BC. Karena TA tegak lurus bidang alas, maka TA tegak lurus AB dan TA tegak lurus AC. Segitiga TAB dan TAC adalah segitiga siku-siku di A.

Perhatikan segitiga TBC. Kita perlu mencari panjang TB dan TC.
TB² = TA² + AB² = (4√3)² + (4√2)² = (16 × 3) + (16 × 2) = 48 + 32 = 80
TB = √80 = 4√5 cm.

TC² = TA² + AC² = (4√3)² + (4√2)² = 48 + 32 = 80
TC = √80 = 4√5 cm.

Jadi, segitiga TBC adalah segitiga sama kaki dengan TB = TC.
Dalam segitiga sama kaki TBC, garis dari T ke titik tengah alas BC (yaitu M) akan tegak lurus BC. Jadi, TM tegak lurus BC.

3. Tentukan Sudut Dihasilkan
Sudut antara bidang TBC dan bidang alas ABC adalah sudut antara garis AM dan garis TM, karena keduanya tegak lurus BC di titik M.
Sudut yang dicari adalah sudut ∠TMA.

Kita punya segitiga TAM, yang siku-siku di A (karena TA tegak lurus bidang alas).
TA = 4√3 cm
AM = 4 cm

Dalam segitiga TAM, kita dapat menggunakan trigonometri untuk mencari sudut ∠TMA:
tan(∠TMA) = sisi depan / sisi samping = TA / AM
tan(∠TMA) = (4√3) / 4
tan(∠TMA) = √3

Sudut yang tangennya adalah √3 adalah 60 derajat.
∠TMA = 60°.

Jadi, besar sudut antara TBC dan bidang alas adalah 60°.