Buktikan bahwa n < 2^n untuk semua bilangan asli n.

Ketaksamaan n < 2^n terbukti benar untuk semua bilangan asli n menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Kita akan membuktikan ketaksamaan n < 2^n untuk semua bilangan asli n menggunakan induksi matematika. Langkah 1: Basis Induksi. Periksa untuk n = 1. Di sini, 1 < 2^1, yang berarti 1 < 2. Pernyataan ini benar. Langkah 2: Hipotesis Induksi. Asumsikan bahwa ketaksamaan P(k): k < 2^k benar untuk suatu bilangan asli k. Langkah 3: Langkah Induksi. Kita perlu membuktikan bahwa ketaksamaan P(k+1): (k+1) < 2^(k+1) juga benar. Dari hipotesis induksi, kita tahu bahwa k < 2^k. Sekarang kita perhatikan 2^(k+1) = 2 * 2^k. Karena k < 2^k, maka 2 * k < 2 * 2^k = 2^(k+1). Kita perlu menunjukkan bahwa k+1 < 2^(k+1). Kita tahu bahwa k+1 <= 2k untuk k >= 1 (karena jika k=1, 1+1=2, 2*1=2; jika k>1, k+1 < 2k). Karena k+1 <= 2k dan 2k < 2^(k+1), maka berdasarkan sifat transitif, k+1 < 2^(k+1). Oleh karena itu, ketaksamaan terbukti benar untuk n = k+1. Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi matematika, ketaksamaan n < 2^n berlaku untuk semua bilangan asli n.