Buktikan rumus-rumus berikut dengan menggunakan induksi

4n^2+4n-1 adalah bilangan ganjil.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 4n^2+4n-1 adalah bilangan ganjil menggunakan induksi matematika, kita perlu menunjukkan dua langkah:

Langkah Basis (n=1):
Untuk n=1, 4(1)^2 + 4(1) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7. Bilangan 7 adalah bilangan ganjil. Jadi, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah Induktif:
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu 4k^2+4k-1 adalah bilangan ganjil. Ini berarti kita dapat menulis 4k^2+4k-1 = 2m+1 untuk suatu bilangan bulat m.

Sekarang, kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1. Yaitu, 4(k+1)^2 + 4(k+1) - 1 adalah bilangan ganjil.

4(k+1)^2 + 4(k+1) - 1
= 4(k^2 + 2k + 1) + 4k + 4 - 1
= 4k^2 + 8k + 4 + 4k + 4 - 1
= 4k^2 + 12k + 7

Kita dapat mengelompokkan suku-suku ini untuk menunjukkan bahwa mereka membentuk bilangan ganjil:
= (4k^2 + 4k - 1) + 8k + 8

Karena kita mengasumsikan bahwa 4k^2+4k-1 adalah bilangan ganjil (yaitu, 2m+1), kita substitusikan kembali:
= (2m+1) + 8k + 8
= 2m + 8k + 9
= 2m + 8k + 8 + 1
= 2(m + 4k + 4) + 1

Karena m dan k adalah bilangan bulat, maka (m + 4k + 4) juga merupakan bilangan bulat. Misalkan P = m + 4k + 4. Maka, ekspresi tersebut menjadi 2P + 1, yang merupakan bentuk dari bilangan ganjil.

Oleh karena itu, berdasarkan prinsip induksi matematika, 4n^2+4n-1 adalah bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat positif n.