Buktikan setiap identitas berikut! tan ^2 x sin ^2 x=tan ^2

Identitas terbukti benar dengan mengubah kedua sisi menjadi \(\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x}\).

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri \(\tan^2 x \sin^2 x = \tan^2 x - \sin^2 x\), kita bisa mulai dari salah satu sisi (biasanya sisi yang lebih kompleks) dan mengubahnya hingga sama dengan sisi lainnya, atau mengubah kedua sisi secara terpisah hingga keduanya sama.

Mari kita mulai dari sisi kiri:
\(\tan^2 x \sin^2 x\)

Kita tahu bahwa \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), sehingga \(\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\).
Substitusikan ini ke dalam ekspresi sisi kiri:
\(\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \sin^2 x\)

Ini menghasilkan:
\(\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x}\)

Sekarang, mari kita coba ubah sisi kanan:
\(\tan^2 x - \sin^2 x\)

Substitusikan \(\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\):
\(\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x\)

Untuk menggabungkan kedua suku ini, kita perlu penyebut yang sama. Ubah \(\sin^2 x\) menjadi \(\frac{\sin^2 x \cos^2 x}{\cos^2 x}\):
\(\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{\cos^2 x}\)

Gabungkan pembilangnya:
\(\frac{\sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x}{\cos^2 x}\)

Faktorkan \(\sin^2 x\) dari pembilang:
\(\frac{\sin^2 x (1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x}\)

Kita tahu identitas Pythagoras \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), sehingga \(1 - \cos^2 x = \sin^2 x\).
Substitusikan ini ke dalam ekspresi:
\(\frac{\sin^2 x (\sin^2 x)}{\cos^2 x}\)

Ini menyederhanakan menjadi:
\(\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x}\)

Kedua sisi (sisi kiri dan sisi kanan) setelah diubah menghasilkan ekspresi yang sama, yaitu \(\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x}\). Oleh karena itu, identitas \(\tan^2 x \sin^2 x = \tan^2 x - \sin^2 x\) terbukti benar.