Diketahui persamaan parabola y=x^2+ax+b. Garis y=-4x-1

Nilai a = -2 dan b = 0.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan parabola \(y = x^2 + ax + b\) dan sebuah garis \(y = -4x - 1\) yang menyinggung parabola di titik \((-1, 3)\).

Karena titik \((-1, 3)\) terletak pada garis, kita bisa memverifikasinya: \(3 = -4(-1) - 1 = 4 - 1 = 3\). Pernyataan ini benar.

Karena titik \((-1, 3)\) juga terletak pada parabola, maka koordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan parabola:
\(3 = (-1)^2 + a(-1) + b\)
\(3 = 1 - a + b\)
\(b - a = 2\)  ...(Persamaan 1)

Selanjutnya, karena garis menyinggung parabola di titik tersebut, gradien garis singgung parabola di titik \(x = -1\) harus sama dengan gradien garis \(y = -4x - 1\).

Gradien garis \(y = -4x - 1\) adalah \(m = -4\).

Gradien garis singgung parabola diperoleh dari turunan pertama persamaan parabola terhadap \(x\):
\(y = x^2 + ax + b\)
\(y' = \frac{dy}{dx} = 2x + a\)

Pada titik singgung \(x = -1\), gradiennya adalah:
\(y'(-1) = 2(-1) + a\)
\(y'(-1) = -2 + a\)

Karena gradien garis singgung sama dengan gradien garis, kita samakan keduanya:
\(-2 + a = -4\)
\(a = -4 + 2\)
\(a = -2\)

Sekarang kita substitusikan nilai \(a = -2\) ke dalam Persamaan 1:
\(b - a = 2\)
\(b - (-2) = 2\)
\(b + 2 = 2\)
\(b = 2 - 2\)
\(b = 0\)

Jadi, nilai \(a = -2\) dan \(b = 0\). Persamaan parabolanya adalah \(y = x^2 - 2x\).