Buktikan tan(a+45)=(cosa+sina)/(cosa-sina).

Identitas terbukti dengan menggunakan rumus penjumlahan tangen atau manipulasi aljabar.

Pembahasan

Kita akan membuktikan identitas trigonometri tan(a+45°) = (cos a + sin a) / (cos a - sin a).

Langkah 1: Gunakan rumus penjumlahan tangen.
tan(a + β) = (tan a + tan β) / (1 - tan a tan β)
Dengan β = 45°, maka tan(45°) = 1.
tan(a + 45°) = (tan a + 1) / (1 - tan a)

Langkah 2: Ubah tan a menjadi sin a / cos a.
tan(a + 45°) = (sin a / cos a + 1) / (1 - sin a / cos a)

Langkah 3: Samakan penyebut di pembilang dan penyebut.
tan(a + 45°) = ((sin a + cos a) / cos a) / ((cos a - sin a) / cos a)

Langkah 4: Kalikan dengan kebalikan dari penyebut.
tan(a + 45°) = (sin a + cos a) / cos a * cos a / (cos a - sin a)

Langkah 5: Sederhanakan.
tan(a + 45°) = (sin a + cos a) / (cos a - sin a)

Identitas terbukti.

Alternatif pembuktian:
Kita mulai dari sisi kanan:
(cos a + sin a) / (cos a - sin a)
Bagi pembilang dan penyebut dengan cos a:
(cos a / cos a + sin a / cos a) / (cos a / cos a - sin a / cos a)
(1 + tan a) / (1 - tan a)
Ini adalah rumus penjumlahan tangen untuk tan(a + 45°).
Jadi, tan(a+45°) = (cos a + sin a) / (cos a - sin a).