Dalam segitiga ABC, sudut BAC=30, b=8 dan a=4akar(2).Dengan

105 derajat atau 15 derajat.

Pembahasan

Diketahui segitiga ABC dengan sudut BAC = 30 derajat, panjang sisi b = 8, dan panjang sisi a = $4\sqrt{2}$. Kita perlu mencari besar sudut ACB.

Kita dapat menggunakan aturan sinus pada segitiga ABC:
$\,\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Di sini, A adalah sudut BAC, B adalah sudut ABC, dan C adalah sudut ACB.
Kita memiliki:
$\,\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
$\,\frac{4\sqrt{2}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{8}{\sin B}$

Kita tahu bahwa $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$\,\frac{4\sqrt{2}}{1/2} = \frac{8}{\sin B}$
$\,8\sqrt{2} = \frac{8}{\sin B}$

Sekarang kita selesaikan untuk $\sin B$:
$\,\sin B = \frac{8}{8\sqrt{2}}$
$\,\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Nilai B yang memenuhi $\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}$ adalah 45 derajat atau 135 derajat.

Kasus 1: Jika B = 45 derajat
Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat. Maka, sudut C = $180^{\circ} - A - B = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 45^{\circ} = 105^{\circ}$.

Kasus 2: Jika B = 135 derajat
Maka, sudut C = $180^{\circ} - A - B = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 135^{\circ} = 15^{\circ}$.

Kedua kasus tersebut valid karena menghasilkan jumlah sudut 180 derajat.

Namun, jika kita melihat perbandingan sisi dan sudut, sisi b (8) lebih panjang dari sisi a ($4\sqrt{2} \approx 5.66$). Dalam segitiga, sisi yang lebih panjang berhadapan dengan sudut yang lebih besar. Jika B=135 derajat, maka B adalah sudut tumpul, yang berarti A dan C harus sudut lancip. Jika B=45 derajat, maka A=30 derajat dan C=105 derajat, yang juga mungkin.

Tanpa informasi tambahan, ada dua kemungkinan nilai untuk sudut ACB. Namun, dalam konteks soal ujian yang biasanya menginginkan satu jawaban, mari kita pertimbangkan kasus di mana sudut B lancip.
Jika B = 45 derajat, maka sudut ACB = 105 derajat.
Jika B = 135 derajat, maka sudut ACB = 15 derajat.

Mari kita asumsikan bahwa pertanyaan ini mencari salah satu kemungkinan.
Jika sudut B = 45 derajat, maka sudut ACB = $180 - 30 - 45 = 105$ derajat.
Jika sudut B = 135 derajat, maka sudut ACB = $180 - 30 - 135 = 15$ derajat.

Jawaban yang paling umum diasumsikan dalam soal semacam ini adalah sudut lancip untuk sudut B, sehingga ACB = 105 derajat.
Namun, jika kita perhatikan perbandingan sisi a dan b, yaitu $a < b$ ($4\sqrt{2} < 8$), maka sudut A harus lebih kecil dari sudut B. Sudut A = 30 derajat.
Jika B = 45 derajat, maka A < B (30 < 45). Ini konsisten.
Jika B = 135 derajat, maka A < B (30 < 135). Ini juga konsisten.

Dalam banyak kurikulum, ketika ada dua kemungkinan seperti ini, kedua jawaban diterima atau ada konvensi tertentu. Namun, seringkali konteks soal geometri lebih mengarah pada sudut lancip jika tidak disebutkan lain.

Jika kita menggunakan Aturan Sinus untuk mencari sudut C secara langsung:
$\,\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$
Kita tidak tahu c, jadi kita harus mencari B terlebih dahulu.

Kembali ke $\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Jika B = 45 derajat, C = 105 derajat.
Jika B = 135 derajat, C = 15 derajat.

Kedua nilai sudut ACB yaitu 105 derajat dan 15 derajat adalah solusi yang valid berdasarkan informasi yang diberikan.