Deret geometri u1, U2,u3,...u12 dengan rasio r>0 . Apabila

Nilai jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah 4095/64.

Pembahasan

Ini adalah soal deret geometri.

Diketahui:
Deret geometri: u₁, u₂, u₃, ..., u₁₂
Rasio: r > 0
Persamaan 1: u₂ + u₃ = 4(u₄ + u₅)
Persamaan 2: u₆ = 1

Ditanya: Jumlah deret geometri tak hingga (u₁ + U₂ + U₃ + ...) atau jumlah 12 suku pertama?
Asumsi yang ditanyakan adalah jumlah 12 suku pertama, karena deretnya sampai u₁₂.

Langkah 1: Gunakan rumus suku ke-n deret geometri: uₙ = u₁ * rⁿ⁻¹
Dari Persamaan 1:
u₁r + u₁r² = 4(u₁r³ + u₁r⁴)
Karena u₁ ≠ 0 dan r ≠ 0 (karena r > 0), kita bisa membagi kedua sisi dengan u₁r:
1 + r = 4(r² + r³)
1 + r = 4r²(1 + r)

Karena r > 0, maka 1 + r ≠ 0. Kita bisa membagi kedua sisi dengan (1 + r):
1 = 4r²
r² = 1/4
r = ±√(1/4)
Karena diketahui r > 0, maka r = 1/2.

Langkah 2: Gunakan Persamaan 2 untuk mencari u₁.
Diketahui u₆ = 1.
u₆ = u₁ * r⁵
1 = u₁ * (1/2)⁵
1 = u₁ * (1/32)
u₁ = 32

Langkah 3: Hitung jumlah 12 suku pertama deret geometri (S₁₂).
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri: Sₙ = u₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)
S₁₂ = 32 * (1 - (1/2)¹²) / (1 - 1/2)
S₁₂ = 32 * (1 - 1/4096) / (1/2)
S₁₂ = 32 * (4095/4096) / (1/2)
S₁₂ = 32 * (4095/4096) * 2
S₁₂ = 64 * (4095/4096)
S₁₂ = 4095 / 64

Jadi, nilai dari u₁ + U₂ + U₃ + ... + u₁₂ adalah 4095/64.