Jika x1.x2 adalah akar-akar 9^x-4.3^(x+1)- 2 . 3^x+a = 0

Nilai a adalah 12.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan akar-akar persamaan eksponensial.

Persamaan: 9ˣ - 4 ⋅ 3ˣ⁺¹ - 2 ⋅ 3ˣ + a = 0
Diketahui x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan.
Diketahui x₁ + x₂ = 2 ⋅ ³log2 + 1

Langkah 1: Ubah persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam variabel baru.
Misalkan y = 3ˣ. Maka 9ˣ = (3²)ˣ = (3ˣ)² = y².
9ˣ - 4 ⋅ 3ˣ⁺¹ - 2 ⋅ 3ˣ + a = 0
y² - 4 ⋅ (3ˣ ⋅ 3¹) - 2 ⋅ y + a = 0
y² - 4 ⋅ (y ⋅ 3) - 2y + a = 0
y² - 12y - 2y + a = 0
y² - 14y + a = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam y. Akar-akarnya adalah y₁ dan y₂.
y₁ = 3ˣ¹ dan y₂ = 3ˣ².

Langkah 2: Gunakan sifat akar-akar persamaan kuadrat.
Dari persamaan y² - 14y + a = 0, kita punya:
Jumlah akar: y₁ + y₂ = -(-14)/1 = 14
Sifat perkalian akar: y₁ ⋅ y₂ = a/1 = a

Langkah 3: Gunakan informasi tentang jumlah akar x₁ dan x₂.
Diketahui x₁ + x₂ = 2 ⋅ ³log2 + 1.
Kita tahu y₁ ⋅ y₂ = 3ˣ¹ ⋅ 3ˣ² = 3⁽ˣ¹⁺ˣ²⁾.
Jadi, a = 3⁽ˣ¹⁺ˣ²⁾.

Substitusikan nilai x₁ + x₂:
a = 3⁽² ⋅ ³log2 + 1⁾

Langkah 4: Sederhanakan ekspresi untuk a.
a = 3^(2 ⋅ ³log2) ⋅ 3¹
a = 3^(log₂(2²)) ⋅ 3  (menggunakan sifat logaritma b log c = log c^b)
a = 3^(log₂(4)) ⋅ 3

Kita tahu bahwa 3^(log₃x) = x. Namun, basis logaritmanya berbeda.
Mari kita gunakan sifat logaritma: c * log_b(a) = log_b(a^c)
2 ⋅ ³log2 = log₃(2²) = log₃(4).

Jadi, a = 3^(log₃(4) + 1)
a = 3^(log₃(4)) ⋅ 3¹
Karena 3^(log₃(4)) = 4,
maka a = 4 ⋅ 3
a = 12

Jadi, nilai a adalah 12.