Diberikan f(x) = sin x + cos x, dengan 0 <= x <= 2pi. a.

Titik stasioner: (pi/4, sqrt(2)) [maks] & (5pi/4, -sqrt(2)) [min]. Titik belok: (3pi/4, 0) & (7pi/4, 0). Titik ujung: (0, 1) & (2pi, 1).

Pembahasan

Untuk fungsi f(x) = sin x + cos x pada interval 0 <= x <= 2pi:

a. Titik Stasioner:
Titik stasioner terjadi ketika turunan pertama fungsi sama dengan nol (f'(x) = 0).
Turunan pertama dari f(x) adalah f'(x) = cos x - sin x.

Setel f'(x) = 0:
cos x - sin x = 0
cos x = sin x
1 = sin x / cos x
tan x = 1

Dalam interval 0 <= x <= 2pi, nilai x yang memenuhi tan x = 1 adalah:
x = pi/4 dan x = 5pi/4.

Sekarang kita tentukan jenis titik stasionernya menggunakan turunan kedua (f''(x)).
Turunan kedua dari f(x) adalah f''(x) = -sin x - cos x.

Untuk x = pi/4:
f''(pi/4) = -sin(pi/4) - cos(pi/4) = -(sqrt(2)/2) - (sqrt(2)/2) = -sqrt(2).
Karena f''(pi/4) < 0, maka titik x = pi/4 adalah titik maksimum lokal.
Nilai f(pi/4) = sin(pi/4) + cos(pi/4) = sqrt(2)/2 + sqrt(2)/2 = sqrt(2).
Jadi, titik maksimum lokal adalah (pi/4, sqrt(2)).

Untuk x = 5pi/4:
f''(5pi/4) = -sin(5pi/4) - cos(5pi/4) = -(-sqrt(2)/2) - (-sqrt(2)/2) = sqrt(2)/2 + sqrt(2)/2 = sqrt(2).
Karena f''(5pi/4) > 0, maka titik x = 5pi/4 adalah titik minimum lokal.
Nilai f(5pi/4) = sin(5pi/4) + cos(5pi/4) = -sqrt(2)/2 + (-sqrt(2)/2) = -sqrt(2).
Jadi, titik minimum lokal adalah (5pi/4, -sqrt(2)).

b. Titik Belok:
Titik belok terjadi ketika turunan kedua sama dengan nol atau tidak terdefinisi (f''(x) = 0).
Kita sudah memiliki f''(x) = -sin x - cos x.

Setel f''(x) = 0:
-sin x - cos x = 0
-sin x = cos x
-1 = cos x / sin x
-1 = cot x

Dalam interval 0 <= x <= 2pi, nilai x yang memenuhi cot x = -1 adalah:
x = 3pi/4 dan x = 7pi/4.

Kita perlu memeriksa perubahan tanda pada f''(x) di sekitar titik-titik ini.

Untuk x = 3pi/4:
Jika x < 3pi/4 (misal pi/2), f''(pi/2) = -sin(pi/2) - cos(pi/2) = -1 - 0 = -1 (negatif).
Jika x > 3pi/4 (misal pi), f''(pi) = -sin(pi) - cos(pi) = 0 - (-1) = 1 (positif).
Karena ada perubahan tanda dari negatif ke positif, maka x = 3pi/4 adalah titik belok.
Nilai f(3pi/4) = sin(3pi/4) + cos(3pi/4) = sqrt(2)/2 + (-sqrt(2)/2) = 0.
Jadi, titik belok pertama adalah (3pi/4, 0).

Untuk x = 7pi/4:
Jika x < 7pi/4 (misal 3pi/2), f''(3pi/2) = -sin(3pi/2) - cos(3pi/2) = -(-1) - 0 = 1 (positif).
Jika x > 7pi/4 (misal 11pi/6), f''(11pi/6) = -sin(11pi/6) - cos(11pi/6) = -(-1/2) - (sqrt(3)/2) = 1/2 - sqrt(3)/2 (negatif).
Karena ada perubahan tanda dari positif ke negatif, maka x = 7pi/4 adalah titik belok.
Nilai f(7pi/4) = sin(7pi/4) + cos(7pi/4) = -sqrt(2)/2 + sqrt(2)/2 = 0.
Jadi, titik belok kedua adalah (7pi/4, 0).

c. Titik-titik Ujung Interval:
Intervalnya adalah 0 <= x <= 2pi.
Titik ujungnya adalah x = 0 dan x = 2pi.

Untuk x = 0:
f(0) = sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1.
Jadi, titik ujung pertama adalah (0, 1).

Untuk x = 2pi:
f(2pi) = sin(2pi) + cos(2pi) = 0 + 1 = 1.
Jadi, titik ujung kedua adalah (2pi, 1).

Ringkasan:
Titik Stasioner:
- Maksimum lokal: (pi/4, sqrt(2))
- Minimum lokal: (5pi/4, -sqrt(2})

Titik Belok:
- (3pi/4, 0)
- (7pi/4, 0)

Titik Ujung Interval:
- (0, 1)
- (2pi, 1)