Diberikan fungsi f di bawah ini. f(theta) = sin^2 (theta

f''(2) = 2x² cos(4x)

Pembahasan

Untuk menghitung f''(2) dari fungsi f(θ) = sin²(θx), pertama kita perlu mencari turunan pertama (f'(θ)) dan turunan kedua (f''(θ)). Perlu diperhatikan bahwa x di sini dianggap sebagai konstanta.

Fungsi: f(θ) = sin²(θx) = (sin(θx))²

Turunan pertama, f'(θ):
Menggunakan aturan rantai, turunan dari u² adalah 2u * du/dθ.
Misalkan u = sin(θx).
Maka du/dθ = d/dθ [sin(θx)]
Menggunakan aturan rantai lagi untuk sin(θx), turunannya adalah cos(θx) * d/dθ(θx).
Karena x dianggap konstanta, d/dθ(θx) = x.
Jadi, du/dθ = x cos(θx).

Sekarang, kembali ke f'(θ):
f'(θ) = 2 * u * (du/dθ) = 2 * sin(θx) * (x cos(θx))
f'(θ) = 2x sin(θx) cos(θx).

Kita bisa menyederhanakan ini menggunakan identitas trigonometri 2sin A cos A = sin(2A):
f'(θ) = x sin(2θx).

Turunan kedua, f''(θ):
Sekarang kita turunkan f'(θ) = x sin(2θx) terhadap θ.
Karena x adalah konstanta, kita bisa mengeluarkannya dari turunan.
f''(θ) = d/dθ [x sin(2θx)] = x * d/dθ [sin(2θx)].
Menggunakan aturan rantai lagi, turunan dari sin(v) adalah cos(v) * dv/dθ.
Misalkan v = 2θx.
Maka dv/dθ = d/dθ (2θx) = 2x (karena x adalah konstanta).

Jadi, d/dθ [sin(2θx)] = cos(2θx) * (2x) = 2x cos(2θx).

Kembali ke f''(θ):
f''(θ) = x * (2x cos(2θx)) = 2x² cos(2θx).

Sekarang, kita hitung f''(2):
Substitusikan θ = 2 ke dalam f''(θ):
f''(2) = 2x² cos(2 * 2 * x) = 2x² cos(4x).

Jawaban Singkat: f''(2) = 2x² cos(4x)