Jika 2sin x+3cot x-3csc x=0 dengan 0<x<pi/2, maka sin xcos

√3 / 4

Pembahasan

Kita diberikan persamaan 2sin x + 3cot x - 3csc x = 0 dengan 0 < x < π/2. Kita perlu mencari nilai sin x cos x.

Pertama, ubah cot x dan csc x ke dalam bentuk sin x dan cos x:
cot x = cos x / sin x
csc x = 1 / sin x

Substitusikan ke dalam persamaan:
2sin x + 3(cos x / sin x) - 3(1 / sin x) = 0

Kalikan seluruh persamaan dengan sin x untuk menghilangkan penyebut (dengan asumsi sin x ≠ 0, yang benar karena 0 < x < π/2):
2sin² x + 3cos x - 3 = 0

Kita tahu bahwa sin² x = 1 - cos² x. Substitusikan ini ke dalam persamaan:
2(1 - cos² x) + 3cos x - 3 = 0
2 - 2cos² x + 3cos x - 3 = 0

Susun ulang persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam cos x:
-2cos² x + 3cos x - 1 = 0

Kalikan dengan -1 untuk membuat koefisien cos² x positif:
2cos² x - 3cos x + 1 = 0

Sekarang, kita faktorkan persamaan kuadrat ini. Misalkan y = cos x:
2y² - 3y + 1 = 0
(2y - 1)(y - 1) = 0

Maka, solusinya adalah:
2y - 1 = 0  => y = 1/2
y - 1 = 0   => y = 1

Jadi, cos x = 1/2 atau cos x = 1.

Karena diberikan bahwa 0 < x < π/2, yang berarti x berada di kuadran pertama, nilai cos x harus positif. Kedua nilai cos x = 1/2 dan cos x = 1 memenuhi kondisi ini.

Jika cos x = 1, maka x = 0. Namun, intervalnya adalah 0 < x < π/2, jadi x tidak bisa 0. Oleh karena itu, cos x = 1 tidak valid dalam konteks ini.

Maka, satu-satunya solusi yang valid adalah cos x = 1/2.

Jika cos x = 1/2 dan 0 < x < π/2, maka nilai x adalah π/3 (atau 60°).

Sekarang kita perlu mencari nilai sin x ketika cos x = 1/2 dan 0 < x < π/2. Kita bisa menggunakan identitas sin² x + cos² x = 1:
sin² x + (1/2)² = 1
sin² x + 1/4 = 1
sin² x = 1 - 1/4
sin² x = 3/4

Karena 0 < x < π/2, sin x bernilai positif:
sin x = √(3/4) = √3 / 2.

Terakhir, kita hitung sin x cos x:
sin x cos x = (√3 / 2) * (1/2) = √3 / 4.

Jawaban Singkat: sin x cos x = √3 / 4