Diberikan fungsi y=1/2 x^2-cos x. Tentukan interval di mana

Fungsi cekung ke atas pada (-∞, ∞) kecuali x = (2n+1)π. Tidak pernah cekung ke bawah dan tidak ada titik belok.

Pembahasan

Untuk menentukan interval kecekungan dan titik belok fungsi y = 1/2 x^2 - cos x, kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut.

Turunan pertama (y'):
y' = d/dx (1/2 x^2 - cos x)
y' = x - (-sin x)
y' = x + sin x

Turunan kedua (y''):
y'' = d/dx (x + sin x)
y'' = 1 + cos x

Kecekungan:
Fungsi cekung ke atas jika y'' > 0.
1 + cos x > 0
cos x > -1
Ini berlaku untuk semua nilai x kecuali ketika cos x = -1, yaitu ketika x = (2n+1)π, di mana n adalah bilangan bulat.

Fungsi cekung ke bawah jika y'' < 0.
1 + cos x < 0
cos x < -1
Tidak ada nilai x yang memenuhi kondisi ini karena nilai minimum cosinus adalah -1.

Titik Belok:
Titik belok terjadi ketika kecekungan berubah, yaitu ketika y'' = 0 atau y'' tidak terdefinisi. Dalam kasus ini, y'' = 1 + cos x.
Setel y'' = 0:
1 + cos x = 0
cos x = -1
Nilai x yang memenuhi adalah x = (2n+1)π, di mana n adalah bilangan bulat.
Namun, untuk menjadi titik belok, kecekungan harus berubah di titik tersebut. Karena y'' = 1 + cos x selalu ≥ 0, kecekungan tidak pernah berubah dari cekung ke bawah ke cekung ke atas atau sebaliknya. Nilai y'' hanya menyentuh 0 pada x = (2n+1)π, tetapi tidak pernah menjadi negatif.

Kesimpulan:
- Fungsi cekung ke atas pada interval (-∞, ∞) kecuali pada x = (2n+1)π.
- Fungsi tidak pernah cekung ke bawah.
- Tidak ada titik belok karena tidak ada perubahan kecekungan.