Diberikan sistem pertidaksamaan: g+b <= 22 { dan ) 5.000

20.000.000

Pembahasan

Ini adalah soal program linear yang meminta nilai maksimum dari fungsi objektif.

Kita diberikan sistem pertidaksamaan:
1. g + b <= 22
2. 5.000.000 g + 15.000.000 b <= 200.000.000

Kita bisa menyederhanakan pertidaksamaan kedua dengan membagi semua suku dengan 5.000.000:
3. g + 3b <= 40

Dan fungsi objektif yang ingin dimaksimalkan adalah:
f(g, b) = 500.000 g + 1.500.000 b

Kita juga memiliki batasan bahwa g >= 0 dan b >= 0 karena jumlah tamu tidak bisa negatif.

Langkah 1: Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh pertidaksamaan.

Titik Potong Garis 1 (g + b = 22) dan Garis 2 (g + 3b = 40):
Dari g + b = 22, kita dapatkan g = 22 - b.
Substitusikan ke g + 3b = 40:
(22 - b) + 3b = 40
22 + 2b = 40
2b = 40 - 22
2b = 18
b = 9

Jika b = 9, maka g = 22 - 9 = 13.
Jadi, salah satu titik potong adalah (13, 9).

Titik Potong Garis 1 (g + b = 22) dengan sumbu g (b=0):
g + 0 = 22 => g = 22. Titik potong: (22, 0).

Titik Potong Garis 2 (g + 3b = 40) dengan sumbu g (b=0):
g + 3(0) = 40 => g = 40. Titik potong: (40, 0).

Titik Potong Garis 1 (g + b = 22) dengan sumbu b (g=0):
0 + b = 22 => b = 22. Titik potong: (0, 22).

Titik Potong Garis 2 (g + 3b = 40) dengan sumbu b (g=0):
0 + 3b = 40 => b = 40/3. Titik potong: (0, 40/3).

Titik Potong dengan sumbu g dan b adalah (0, 0).

Kita perlu memeriksa titik-titik pojok yang memenuhi kedua pertidaksamaan:
- Titik (0, 0)
- Titik perpotongan g + b = 22 dan g + 3b = 40 yaitu (13, 9).
- Titik perpotongan g + b = 22 dengan sumbu b (g=0) adalah (0, 22). Kita cek di g + 3b <= 40: 0 + 3(22) = 66, ini tidak memenuhi <= 40. Jadi (0, 22) bukan titik pojok.
- Titik perpotongan g + 3b = 40 dengan sumbu b (g=0) adalah (0, 40/3). Kita cek di g + b <= 22: 0 + 40/3 = 13.33, ini memenuhi <= 22. Jadi (0, 40/3) adalah titik pojok.
- Titik perpotongan g + b = 22 dengan sumbu g (b=0) adalah (22, 0). Kita cek di g + 3b <= 40: 22 + 3(0) = 22, ini memenuhi <= 40. Jadi (22, 0) adalah titik pojok.

Titik pojok yang valid adalah (0, 0), (13, 9), (22, 0), dan (0, 40/3).

Langkah 2: Substitusikan koordinat titik-titik pojok ke dalam fungsi objektif f(g, b) = 500.000 g + 1.500.000 b.

- f(0, 0) = 500.000(0) + 1.500.000(0) = 0
- f(13, 9) = 500.000(13) + 1.500.000(9) = 6.500.000 + 13.500.000 = 20.000.000
- f(22, 0) = 500.000(22) + 1.500.000(0) = 11.000.000
- f(0, 40/3) = 500.000(0) + 1.500.000(40/3) = 0 + 500.000 * 40 = 20.000.000

Nilai maksimum yang diperoleh adalah 20.000.000.

Perlu diperiksa kembali apakah ada kesalahan perhitungan atau interpretasi.
Mari kita periksa kembali titik pojoknya.

Pertidaksamaan:
g + b <= 22
g + 3b <= 40
g >= 0, b >= 0

Titik potong:
1. g = 0, b = 0 -> (0,0)
2. g = 0, g + 3b = 40 -> 3b = 40 -> b = 40/3. Cek g+b <= 22: 0 + 40/3 = 13.33 <= 22. Valid. Titik (0, 40/3).
3. b = 0, g + b = 22 -> g = 22. Cek g+3b <= 40: 22 + 0 = 22 <= 40. Valid. Titik (22, 0).
4. g + b = 22 dan g + 3b = 40. Dari (1), g = 22-b. Substitusi ke (2): (22-b) + 3b = 40 -> 22 + 2b = 40 -> 2b = 18 -> b = 9. Maka g = 22 - 9 = 13. Titik (13, 9).

Fungsi objektif: f(g, b) = 500.000g + 1.500.000b

Evaluasi di titik pojok:
- f(0, 0) = 0
- f(0, 40/3) = 500.000(0) + 1.500.000(40/3) = 0 + 500.000 * 40 = 20.000.000
- f(22, 0) = 500.000(22) + 1.500.000(0) = 11.000.000
- f(13, 9) = 500.000(13) + 1.500.000(9) = 6.500.000 + 13.500.000 = 20.000.000

Nilai maksimumnya adalah 20.000.000.