Sebuah titik meteor bergerak dengan persamaan s=1/3 t^3-3

Titik meteor mencapai kecepatan minimum pada t=3. Kecepatan tertinggi tidak terdefinisi tanpa batasan waktu.

Pembahasan

Untuk mencari saat titik meteor mencapai kecepatan tertinggi, kita perlu mencari turunan pertama dari persamaan jarak terhadap waktu (s), yang menyatakan kecepatan (v), kemudian mencari turunan kedua untuk mengetahui kapan kecepatan tersebut maksimum (yaitu, ketika percepatan nol atau berubah tanda).

Persamaan jarak: $s = \frac{1}{3} t^3 - 3t^2 + 5t$

Turunan pertama (kecepatan, v): $\frac{ds}{dt} = v = t^2 - 6t + 5$

Untuk mencari kecepatan tertinggi, kita perlu mencari kapan percepatan (turunan kecepatan terhadap waktu) bernilai nol. Turunan kedua dari jarak (percepatan, a) adalah:
$\frac{dv}{dt} = a = 2t - 6$

Atur percepatan sama dengan nol untuk mencari titik stasioner:
$2t - 6 = 0$
$2t = 6$
$t = 3$

Sekarang, kita perlu memeriksa apakah pada t=3 kecepatan mencapai maksimum. Kita bisa menggunakan turunan kedua dari kecepatan (turunan ketiga dari jarak), yang merupakan laju perubahan percepatan. Jika turunan kedua dari kecepatan negatif, maka itu adalah kecepatan maksimum.

Turunan kedua dari kecepatan: $\frac{d^2v}{dt^2} = 2$

Karena turunan kedua dari kecepatan adalah positif (2), ini berarti pada t=3, kecepatan mencapai nilai minimum, bukan maksimum. 

Untuk mencari kecepatan tertinggi, kita perlu menganalisis perilaku fungsi kecepatan $v = t^2 - 6t + 5$. Ini adalah fungsi kuadrat yang membuka ke atas. Kecepatan akan terus meningkat seiring waktu setelah titik minimumnya. Namun, dalam konteks fisika, seringkali ada batasan waktu atau kondisi lain yang perlu dipertimbangkan. Jika soal ini mengasumsikan lintasan parabola untuk kecepatan, maka titik balik (vertex) adalah kecepatan minimum.

Jika kita harus memilih titik kritis dari turunan pertama, yaitu t=3, dan karena ini adalah parabola yang terbuka ke atas, maka kecepatan akan terus meningkat setelah t=3. Tanpa batasan waktu tambahan, secara matematis tidak ada kecepatan tertinggi yang absolut. Namun, jika soal ini dimaksudkan untuk mencari titik di mana percepatan adalah nol, maka t=3 adalah jawabannya, meskipun itu adalah kecepatan minimum.

Dalam soal fisika semacam ini, seringkali yang ditanyakan adalah kapan kecepatan mencapai nilai ekstrem (minimum atau maksimum). Titik t=3 adalah titik di mana kecepatan berubah dari menurun menjadi menaik. Jika kita melihat grafik kecepatan, ia adalah parabola yang membuka ke atas, dengan titik minimum pada t=3. Kecepatan tertinggi tidak terdefinisi jika tidak ada batas waktu. Namun, jika soal ini berasal dari konteks di mana kecepatan tertinggi dicapai pada titik kritis pertama yang ditemukan (misalnya, dalam rentang waktu tertentu yang tidak disebutkan), maka t=3 adalah kandidatnya, meskipun secara matematis itu adalah minimum.