Diketahui 0<a<1/2 pi dan 0<b<1/2 pi. Jika sin^2 a+sin^2

cos(a+b) = 0.

Pembahasan

Diketahui persamaan sin^2 a + sin^2 b = sin^2(a+b), dengan 0 < a < 1/2 pi dan 0 < b < 1/2 pi. Kita perlu mencari nilai cos(a+b).

Kita tahu bahwa sin^2(a+b) = (sin a cos b + cos a sin b)^2
sin^2(a+b) = sin^2 a cos^2 b + cos^2 a sin^2 b + 2 sin a cos b cos a sin b

Substitusikan sin^2 b = 1 - cos^2 b dan sin^2 a = 1 - cos^2 a:
sin^2 a + (1 - cos^2 b) = sin^2(a+b)

Substitusikan sin^2 a + sin^2 b ke dalam persamaan awal:
sin^2 a + sin^2 b = sin^2 a cos^2 b + cos^2 a sin^2 b + 2 sin a cos b cos a sin b

Kita juga tahu bahwa sin^2 a = 1 - cos^2 a dan sin^2 b = 1 - cos^2 b.
Substitusikan ini ke persamaan awal:
(1 - cos^2 a) + (1 - cos^2 b) = sin^2(a+b)
2 - cos^2 a - cos^2 b = sin^2(a+b)

Kita juga dapat menulis sin^2(a+b) sebagai 1 - cos^2(a+b).
2 - cos^2 a - cos^2 b = 1 - cos^2(a+b)
cos^2(a+b) = cos^2 a + cos^2 b - 1

Dari soal diketahui bahwa sin^2 a + sin^2 b = sin^2(a+b).
Gunakan identitas sin^2 x = 1 - cos^2 x:
(1 - cos^2 a) + (1 - cos^2 b) = 1 - cos^2(a+b)
2 - cos^2 a - cos^2 b = 1 - cos^2(a+b)
cos^2(a+b) = cos^2 a + cos^2 b - 1

Ini belum mengarah pada solusi yang jelas. Mari kita coba pendekatan lain.

Kembali ke sin^2 a + sin^2 b = sin^2(a+b).
Kita tahu sin^2(a+b) = sin^2 a + sin^2 b + 2 sin a sin b cos a cos b.
Jadi, sin^2 a + sin^2 b = sin^2 a + sin^2 b + 2 sin a sin b cos a cos b.
Ini menyiratkan bahwa 2 sin a sin b cos a cos b = 0.
Karena 0 < a < 1/2 pi dan 0 < b < 1/2 pi, maka sin a, sin b, cos a, dan cos b semuanya positif.
Jadi, hasil kali mereka tidak mungkin nol.

Ada kemungkinan ada kesalahan dalam penafsiran soal atau soal itu sendiri tidak memiliki solusi dalam rentang yang diberikan.

Mari kita asumsikan ada kesalahan ketik dan yang dimaksud adalah sin a + sin b = sin(a+b).
Ini juga tidak umum.

Mari kita kembali ke sin^2 a + sin^2 b = sin^2(a+b).
Jika kita menggunakan identitas R-sin(x-y) atau R-cos(x+y) ini tidak akan membantu.

Mari kita coba nilai spesifik. Jika a=pi/6 dan b=pi/6:
sin^2(pi/6) + sin^2(pi/6) = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2
sin^2(pi/6 + pi/6) = sin^2(pi/3) = (sqrt(3)/2)^2 = 3/4
1/2 != 3/4, jadi a=pi/6, b=pi/6 bukan solusi.

Jika kita manipulasi persamaan sin^2 a + sin^2 b = sin^2(a+b):
1 - cos^2 a + 1 - cos^2 b = 1 - cos^2(a+b)
2 - (cos^2 a + cos^2 b) = 1 - cos^2(a+b)
cos^2(a+b) = cos^2 a + cos^2 b - 1

Kita tahu cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b.
cos^2(a+b) = (cos a cos b - sin a sin b)^2
cos^2(a+b) = cos^2 a cos^2 b - 2 sin a sin b cos a cos b + sin^2 a sin^2 b

Jadi, cos^2 a + cos^2 b - 1 = cos^2 a cos^2 b - 2 sin a sin b cos a cos b + sin^2 a sin^2 b

Ini adalah persamaan yang rumit.

Mari kita tinjau kembali soal. Mungkin ada identitas trigonometri yang relevan.

Perhatikan kembali sin^2 a + sin^2 b = sin^2(a+b).
Jika kita menggunakan sin^2 x = (1-cos 2x)/2:
(1-cos 2a)/2 + (1-cos 2b)/2 = (1-cos 2(a+b))/2
1 - cos 2a + 1 - cos 2b = 1 - cos 2(a+b)
2 - (cos 2a + cos 2b) = 1 - cos 2(a+b)
1 + cos 2(a+b) = cos 2a + cos 2b

Gunakan identitas cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2):
1 + cos 2(a+b) = 2 cos(a+b) cos(a-b)  <- Ini salah, cos(2a) + cos(2b) = 2 cos(a+b) cos(a-b)

Jadi, 1 + cos 2(a+b) = 2 cos(a+b) cos(a-b). Ini masih belum membantu.

Mari kita gunakan 1 + cos 2x = 2 cos^2 x:
2 cos^2(a+b) = cos 2a + cos 2b

Masih belum ada jalan keluar.

Mari kita coba ubah sin^2(a+b) menjadi sesuatu yang melibatkan cos(a+b).
sin^2(a+b) = 1 - cos^2(a+b).

Jadi, sin^2 a + sin^2 b = 1 - cos^2(a+b).

Kita tahu cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b.

Mungkin ada hubungan khusus jika sin^2 a + sin^2 b = sin^2(a+b).
Coba manipulasi persamaan:
sin^2 a = sin^2(a+b) - sin^2 b

Kita tahu sin^2 x - sin^2 y = sin(x+y)sin(x-y).
Jadi, sin^2 a = sin((a+b)+b)sin((a+b)-b)
sin^2 a = sin(a+2b)sin(a)

Karena 0 < a < 1/2 pi, sin a tidak nol. Kita bisa membagi kedua sisi dengan sin a:
sin a = sin(a+2b)

Ini berarti:
a = a+2b + 2k pi  atau  a = pi - (a+2b) + 2k pi

Dari a = a+2b + 2k pi, maka 2b + 2k pi = 0. Karena b > 0, ini tidak mungkin.

Dari a = pi - (a+2b) + 2k pi:
a = pi - a - 2b + 2k pi
2a + 2b = pi + 2k pi
a + b = pi/2 + k pi

Karena 0 < a < 1/2 pi dan 0 < b < 1/2 pi, maka 0 < a+b < pi.
Jika k=0, a+b = pi/2.
Jika k=1, a+b = 3pi/2 (tidak mungkin).

Jadi, kita memiliki a+b = pi/2.

Sekarang kita ingin mencari cos(a+b).
cos(a+b) = cos(pi/2) = 0.

Mari kita cek kembali langkah-langkahnya.

Jika sin a = sin(a+2b), maka salah satu kemungkinan adalah a+2b = a + 2k pi (tidak mungkin karena b>0) atau a+2b = pi - a + 2k pi.
Dari a+2b = pi - a + 2k pi, kita dapatkan 2a+2b = pi + 2k pi, atau a+b = pi/2 + k pi.
Karena 0 < a < pi/2 dan 0 < b < pi/2, maka 0 < a+b < pi. Satu-satunya kemungkinan adalah k=0, sehingga a+b = pi/2.

Jika a+b = pi/2, maka cos(a+b) = cos(pi/2) = 0.

Jadi, cos(a+b) = 0.