Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 12 cm dan BC = 18 cm

3/5

Pembahasan

Untuk menentukan nilai cosinus sudut antara garis GT dan bidang ABCD, kita perlu menggunakan konsep proyeksi garis pada bidang dan teorema Pythagoras.

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan:
AB = 12 cm (panjang)
BC = 18 cm (lebar)
CG = 20 cm (tinggi)
T adalah titik tengah AD.

Kita dapat memvisualisasikan balok dalam sistem koordinat Kartesius.
Misalkan titik A berada di (0, 0, 0).
Maka:
B berada di (12, 0, 0)
D berada di (0, 18, 0)
C berada di (12, 18, 0)
G berada di (12, 18, 20)
H berada di (0, 18, 20)

Karena T adalah titik tengah AD, maka koordinat T adalah:
T = ((0+0)/2, (0+18)/2, (0+0)/2) = (0, 9, 0)

Kita ingin mencari sudut antara garis GT dan bidang ABCD (bidang XY).

Untuk mencari sudut antara garis dan bidang, kita perlu mencari vektor arah dari garis GT dan vektor normal dari bidang ABCD.

Vektor GT = T - G = (0 - 12, 9 - 18, 0 - 20) = (-12, -9, -20)

Bidang ABCD terletak pada bidang XY, sehingga vektor normalnya adalah vektor yang tegak lurus terhadap bidang ini. Kita bisa mengambil vektor normal k = (0, 0, 1).

Namun, cara yang lebih mudah untuk mencari sudut antara garis dan bidang adalah dengan memproyeksikan garis tersebut ke bidang.

Proyeksi garis GT pada bidang ABCD adalah garis PT, di mana P adalah proyeksi titik G pada bidang ABCD. Karena G berada di atas bidang ABCD, proyeksi G pada bidang ABCD adalah titik C (jika kita menganggap G=(12,18,20) dan ABCD di z=0). Tapi, mari kita tinjau ulang penamaan titik.

Jika ABCD adalah alas balok dan EFGH adalah tutupnya, maka G berada di atas C, dan T berada di sisi AD.

Mari kita perjelas koordinatnya:
A = (0, 0, 0)
B = (12, 0, 0)
C = (12, 18, 0)
D = (0, 18, 0)
E = (0, 0, 20)
F = (12, 0, 20)
G = (12, 18, 20)
H = (0, 18, 20)

T adalah titik tengah AD. AD terletak pada sumbu y (dengan A di origin). Maka:
T = (0, 18/2, 0) = (0, 9, 0)

Sekarang kita punya titik G = (12, 18, 20) dan T = (0, 9, 0).

Vektor GT = T - G = (0 - 12, 9 - 18, 0 - 20) = (-12, -9, -20)

Bidang ABCD adalah bidang XY (z=0).

Sudut theta antara garis GT dan bidang ABCD adalah sudut antara vektor GT dan proyeksi vektor GT pada bidang ABCD.

Proyeksi vektor GT pada bidang XY (bidang ABCD) adalah vektor GT' = (-12, -9, 0).

Sudut theta adalah sudut antara GT dan GT'.

Kita bisa menggunakan dot product:
GT . GT' = |GT| |GT'| cos(theta)

GT . GT' = (-12)(-12) + (-9)(-9) + (-20)(0) = 144 + 81 + 0 = 225

|GT| = sqrt((-12)^2 + (-9)^2 + (-20)^2) = sqrt(144 + 81 + 400) = sqrt(625) = 25

|GT'| = sqrt((-12)^2 + (-9)^2 + 0^2) = sqrt(144 + 81) = sqrt(225) = 15

Jadi, 225 = 25 * 15 * cos(theta)
225 = 375 * cos(theta)
cos(theta) = 225 / 375

Sederhanakan pecahan 225/375. Keduanya bisa dibagi 25:
225 / 25 = 9
375 / 25 = 15

Jadi, cos(theta) = 9/15.

Sederhanakan lagi, keduanya bisa dibagi 3:
9 / 3 = 3
15 / 3 = 5

Jadi, cos(theta) = 3/5.

Alternatif lain:
Misalkan proyeksi G pada bidang ABCD adalah G'. Dalam kasus ini, G' adalah titik C (karena GC tegak lurus bidang ABCD). 

Kita punya segitiga siku-siku GCT' di mana T' adalah proyeksi T pada bidang yang sejajar dengan bidang ABCD yang melalui G, atau lebih mudahnya, kita proyeksikan GT ke bidang ABCD. 

Proyeksi T pada bidang ABCD adalah T itu sendiri karena T terletak di bidang ABCD. 
Proyeksi G pada bidang ABCD adalah C (jika sumbu z tegak lurus bidang ABCD di A). Namun, dengan penamaan yang umum, G terletak di atas C, H di atas D, F di atas B, E di atas A.

Jadi, jika G=(12,18,20), maka proyeksi G pada bidang ABCD (z=0) adalah G'=(12,18,0), yaitu titik C.

Vektor GT = (-12, -9, -20)
Titik T = (0, 9, 0)
Titik C = (12, 18, 0)

Proyeksi vektor GT pada bidang ABCD adalah vektor CT = T - C = (0-12, 9-18, 0-0) = (-12, -9, 0).

Sudut theta antara garis GT dan bidang ABCD adalah sudut antara GT dan proyeksinya CT.

cos(theta) = (GT . CT) / (|GT| |CT|)

GT . CT = (-12)(-12) + (-9)(-9) + (-20)(0) = 144 + 81 = 225

|GT| = 25 (sudah dihitung sebelumnya)
|CT| = sqrt((-12)^2 + (-9)^2 + 0^2) = sqrt(144 + 81) = sqrt(225) = 15

cos(theta) = 225 / (25 * 15) = 225 / 375 = 3/5.

Nilai cos theta adalah 3/5.