Diketahui f(x)=a^x+a^-x dan g(x)=a^x-a^-x. Tentukanlah:

4

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari \({f(x)}^2 - {g(x)}^2\), kita perlu mensubstitusikan definisi \(f(x)\) dan \(g(x)\) ke dalam ekspresi tersebut.

Diketahui:
\(f(x) = a^x + a^{-x}\)
\(g(x) = a^x - a^{-x}\)

Kita akan menghitung \({f(x)}^2\) dan \({g(x)}^2\) terlebih dahulu:

\({f(x)}^2 = (a^x + a^{-x})^2\)
Menggunakan rumus \((p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2\), kita dapatkan:
\({f(x)}^2 = (a^x)^2 + 2(a^x)(a^{-x}) + (a^{-x})^2\)
\({f(x)}^2 = a^{2x} + 2a^{x-x} + a^{-2x}\)
\({f(x)}^2 = a^{2x} + 2a^0 + a^{-2x}\)
Karena \(a^0 = 1\), maka:
\({f(x)}^2 = a^{2x} + 2(1) + a^{-2x}\)
\({f(x)}^2 = a^{2x} + 2 + a^{-2x}\)

Selanjutnya, kita akan menghitung \({g(x)}^2\):
\({g(x)}^2 = (a^x - a^{-x})^2\)
Menggunakan rumus \((p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2\), kita dapatkan:
\({g(x)}^2 = (a^x)^2 - 2(a^x)(a^{-x}) + (a^{-x})^2\)
\({g(x)}^2 = a^{2x} - 2a^{x-x} + a^{-2x}\)
\({g(x)}^2 = a^{2x} - 2a^0 + a^{-2x}\)
Karena \(a^0 = 1\), maka:
\({g(x)}^2 = a^{2x} - 2(1) + a^{-2x}\)
\({g(x)}^2 = a^{2x} - 2 + a^{-2x}\)

Sekarang, kita substitusikan hasil \({f(x)}^2\) dan \({g(x)}^2\) ke dalam ekspresi \({f(x)}^2 - {g(x)}^2\):
\({f(x)}^2 - {g(x)}^2 = (a^{2x} + 2 + a^{-2x}) - (a^{2x} - 2 + a^{-2x})\)

Buka kurung:
\({f(x)}^2 - {g(x)}^2 = a^{2x} + 2 + a^{-2x} - a^{2x} + 2 - a^{-2x}\)

Kelompokkan suku-suku yang sejenis:
\({f(x)}^2 - {g(x)}^2 = (a^{2x} - a^{2x}) + (a^{-2x} - a^{-2x}) + (2 + 2)\)

Sederhanakan:
\({f(x)}^2 - {g(x)}^2 = 0 + 0 + 4\)
\({f(x)}^2 - {g(x)}^2 = 4\)

Jadi, \({f(x)}^2 - {g(x)}^2\) adalah 4.