Diketahui f(x)=sin x cos x+sin x untuk 0<x<2pi. Titik

Titik stasioner fungsi f adalah (π/3, 3√3/4), (π, 0), dan (5π/3, -3√3/4).

Pembahasan

Untuk mencari titik stasioner dari fungsi f(x) = sin x cos x + sin x, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut (f'(x)) dan menyamakannya dengan nol, lalu menyelesaikan untuk x.

Pertama, kita bisa menyederhanakan f(x) menggunakan identitas trigonometri. Ingat bahwa sin(2x) = 2 sin x cos x, sehingga sin x cos x = (1/2) sin(2x).
Jadi, f(x) = (1/2) sin(2x) + sin x.

Sekarang, kita cari turunan pertama f'(x):

f'(x) = d/dx [(1/2) sin(2x)] + d/dx [sin x]

Menggunakan aturan rantai untuk (1/2) sin(2x):
Turunan dari sin(u) adalah cos(u) * u'.
Di sini, u = 2x, jadi u' = 2.

f'(x) = (1/2) * [cos(2x) * 2] + cos x
f'(x) = cos(2x) + cos x

Untuk mencari titik stasioner, kita atur f'(x) = 0:
cos(2x) + cos x = 0

Kita gunakan identitas cos(2x) = 2cos^2(x) - 1:
(2cos^2(x) - 1) + cos x = 0
2cos^2(x) + cos x - 1 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk cos x. Misalkan y = cos x, maka:
2y^2 + y - 1 = 0

Kita faktorkan persamaan kuadrat ini:
(2y - 1)(y + 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan:
1. 2y - 1 = 0  => y = 1/2
2. y + 1 = 0   => y = -1

Sekarang kita substitusikan kembali y = cos x:

Kasus 1: cos x = 1/2
Dalam domain 0 < x < 2π (atau 0° < x < 360°), nilai x yang memenuhi cos x = 1/2 adalah:
x = π/3 (60°) dan x = 5π/3 (300°).

Kasus 2: cos x = -1
Dalam domain 0 < x < 2π, nilai x yang memenuhi cos x = -1 adalah:
x = π (180°).

Jadi, nilai-nilai x untuk titik stasioner adalah π/3, π, dan 5π/3.

Untuk menemukan titik stasioner, kita perlu menghitung nilai f(x) pada nilai-nilai x tersebut.

Untuk x = π/3:
f(π/3) = sin(π/3)cos(π/3) + sin(π/3)
        = (√3/2)(1/2) + (√3/2)
        = √3/4 + √3/2
        = √3/4 + 2√3/4 = 3√3/4
Titik stasioner pertama adalah (π/3, 3√3/4).

Untuk x = π:
f(π) = sin(π)cos(π) + sin(π)
     = (0)(-1) + 0
     = 0
Titik stasioner kedua adalah (π, 0).

Untuk x = 5π/3:
f(5π/3) = sin(5π/3)cos(5π/3) + sin(5π/3)
         = (-√3/2)(1/2) + (-√3/2)
         = -√3/4 - √3/2
         = -√3/4 - 2√3/4 = -3√3/4
Titik stasioner ketiga adalah (5π/3, -3√3/4).

Himpunan titik stasioner adalah {(π/3, 3√3/4), (π, 0), (5π/3, -3√3/4)}.