Diketahui fungsi f(x)=(2+cosx)/sinx. Garis singgung grafik

pi/2 + 2

Pembahasan

Diberikan fungsi f(x) = (2 + cos x) / sin x. Kita perlu mencari nilai b, di mana garis singgung pada grafik fungsi di x = pi/2 memotong sumbu-Y di titik (0, b).

Langkah 1: Cari nilai f(x) di x = pi/2.
f(pi/2) = (2 + cos(pi/2)) / sin(pi/2) = (2 + 0) / 1 = 2.
Jadi, titik singgung pada kurva adalah (pi/2, 2).

Langkah 2: Cari turunan pertama dari f(x) untuk mendapatkan gradien garis singgung.
Untuk mencari turunan f(x), kita gunakan aturan kuosien: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2.
Misalkan u = 2 + cos x, maka u' = -sin x.
Misalkan v = sin x, maka v' = cos x.

f'(x) = (-sin x * sin x - (2 + cos x) * cos x) / (sin x)^2
f'(x) = (-sin^2 x - 2 cos x - cos^2 x) / sin^2 x
f'(x) = -(sin^2 x + cos^2 x) - 2 cos x) / sin^2 x
Karena sin^2 x + cos^2 x = 1, maka:
f'(x) = (-1 - 2 cos x) / sin^2 x

Langkah 3: Hitung gradien garis singgung di x = pi/2.
Gradien (m) = f'(pi/2).
m = (-1 - 2 cos(pi/2)) / sin^2(pi/2)
m = (-1 - 2 * 0) / (1)^2
m = -1 / 1
m = -1.

Langkah 4: Tentukan persamaan garis singgung.
Gunakan rumus persamaan garis y - y1 = m(x - x1), dengan (x1, y1) = (pi/2, 2) dan m = -1.
y - 2 = -1(x - pi/2)
y - 2 = -x + pi/2
y = -x + pi/2 + 2

Langkah 5: Cari titik potong dengan sumbu-Y (nilai b).
Titik potong sumbu-Y terjadi ketika x = 0.
Substitusikan x = 0 ke dalam persamaan garis singgung:
y = -0 + pi/2 + 2
y = pi/2 + 2.

Jadi, titik potong sumbu-Y adalah (0, pi/2 + 2). Nilai b adalah pi/2 + 2.