Sebuah garis y=m x+1 memotong sebuah elips dengan persamaan

Nilai m^2 adalah 3/4.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai m^2, kita perlu menganalisis kondisi di mana garis y = mx + 1 memotong elips x^2 + 4y^2 = 1 tepat satu kali. Kondisi ini berarti garis tersebut menyinggung elips.

Langkah 1: Substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan elips.
Ganti y dalam persamaan elips dengan (mx + 1):
 x^2 + 4(mx + 1)^2 = 1
 x^2 + 4(m^2x^2 + 2mx + 1) = 1
 x^2 + 4m^2x^2 + 8mx + 4 = 1

Langkah 2: Susun persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam x.
(1 + 4m^2)x^2 + 8mx + 4 - 1 = 0
(1 + 4m^2)x^2 + 8mx + 3 = 0

Langkah 3: Terapkan kondisi menyinggung (diskriminan = 0).
Agar garis menyinggung elips, persamaan kuadrat dalam x harus memiliki tepat satu solusi. Ini terjadi ketika diskriminan (D) sama dengan nol. Diskriminan dihitung dengan rumus D = b^2 - 4ac, di mana a, b, dan c adalah koefisien persamaan kuadrat.

Dalam persamaan (1 + 4m^2)x^2 + 8mx + 3 = 0:
a = 1 + 4m^2
b = 8m
c = 3

Atur D = 0:
(8m)^2 - 4(1 + 4m^2)(3) = 0
64m^2 - 12(1 + 4m^2) = 0
64m^2 - 12 - 48m^2 = 0
16m^2 - 12 = 0
16m^2 = 12

Langkah 4: Hitung nilai m^2.
m^2 = 12 / 16
m^2 = 3 / 4

Jadi, nilai dari m^2 yang memenuhi adalah 3/4.