Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak

Jarak titik F ke garis AC adalah 3√6 cm.

Pembahasan

Untuk mencari jarak titik F ke garis AC pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, kita dapat menggunakan konsep proyeksi dan teorema Pythagoras.

1.  Identifikasi posisi titik dan garis: Titik F berada di bagian atas kubus, sedangkan garis AC adalah diagonal alas.
2.  Buat bidang yang tegak lurus dengan garis AC dan melalui titik F. Titik potong bidang ini dengan garis AC akan menjadi proyeksi titik F ke garis AC.
3.  Salah satu cara untuk memvisualisasikan ini adalah dengan mempertimbangkan bidang diagonal BDHF. Garis AC dan BD berpotongan di pusat alas (misalnya O).
4.  Jarak dari F ke garis AC sama dengan jarak dari F ke titik O (pusat alas), karena O terletak pada garis AC dan FO tegak lurus terhadap bidang alas (termasuk garis AC).
5.  Panjang rusuk kubus adalah 6 cm. Tinggi kubus (jarak dari F ke bidang alas) adalah 6 cm. Jadi, FO = 6 cm.

Atau, kita bisa menggunakan segitiga siku-siku.
Perhatikan segitiga siku-siku AC H. AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72. Jadi AC = sqrt(72) = 6*sqrt(2).
Sekarang, kita perlu mencari jarak dari F ke garis AC. Perhatikan segitiga AFC. AF = 6 (rusuk kubus). FC adalah diagonal sisi = 6*sqrt(2).
AC = 6*sqrt(2).
Ini adalah segitiga siku-siku di F jika AF^2 + FC^2 = AC^2 atau AF^2 + AC^2 = FC^2 atau FC^2 + AC^2 = AF^2. Ternyata bukan segitiga siku-siku.

Mari kita gunakan proyeksi.
Titik F memiliki koordinat (6, 6, 6) jika A=(0,0,0), B=(6,0,0), C=(6,6,0), D=(0,6,0), E=(0,0,6), F=(6,0,6), G=(6,6,6), H=(0,6,6).
(Catatan: Penempatan koordinat ini bisa bervariasi tergantung definisi titik awal).
Misalkan A=(0,0,0), B=(6,0,0), C=(6,6,0), D=(0,6,0), E=(0,0,6), F=(6,0,6), G=(6,6,6), H=(0,6,6).
Titik F = (6,0,6).
Garis AC adalah garis yang melalui A=(0,0,0) dan C=(6,6,0).

Persamaan garis AC dapat direpresentasikan sebagai:
r(t) = A + t(C-A) = (0,0,0) + t(6,6,0) = (6t, 6t, 0).

Jarak dari titik F(x0, y0, z0) ke garis yang melalui P dengan vektor arah v adalah:
d = ||(F-P) x v|| / ||v||

Dalam kasus ini, P = A = (0,0,0).
v = C - A = (6,6,0).
F - P = F = (6,0,6).

(F-P) x v = (6,0,6) x (6,6,0)
 = | i   j   k  |
   | 6   0   6  |
   | 6   6   0  |
 = i(0*0 - 6*6) - j(6*0 - 6*6) + k(6*6 - 0*6)
 = i(0 - 36) - j(0 - 36) + k(36 - 0)
 = -36i + 36j + 36k
 = (-36, 36, 36)

||(F-P) x v|| = sqrt((-36)^2 + 36^2 + 36^2)
 = sqrt(1296 + 1296 + 1296)
 = sqrt(3 * 1296)
 = sqrt(3) * sqrt(1296)
 = 36 * sqrt(3)

||v|| = sqrt(6^2 + 6^2 + 0^2)
 = sqrt(36 + 36)
 = sqrt(72)
 = sqrt(36 * 2)
 = 6 * sqrt(2)

Jarak d = (36 * sqrt(3)) / (6 * sqrt(2))
 d = 6 * sqrt(3) / sqrt(2)
 d = 6 * sqrt(3) * sqrt(2) / (sqrt(2) * sqrt(2))
 d = 6 * sqrt(6) / 2
 d = 3 * sqrt(6)

Jadi, jarak titik F ke garis AC adalah 3*sqrt(6) cm.