Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan panjang

Panjang garis TP adalah 6√2 cm.

Pembahasan

Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD:
Panjang rusuk alas (AB) = 8 cm
Panjang rusuk tegak (TA) = 4√6 cm
P pada garis BD dengan BP:BD = 3:4

Kita perlu mencari panjang garis TP.

Langkah 1: Cari panjang diagonal alas BD.
Karena ABCD adalah segi empat beraturan (persegi), diagonal BD dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABC:
BD^2 = AB^2 + BC^2
BD^2 = 8^2 + 8^2
BD^2 = 64 + 64
BD^2 = 128
BD = √128 = √(64 * 2) = 8√2 cm

Langkah 2: Cari panjang BP.
Diketahui BP:BD = 3:4, maka:
BP = (3/4) * BD
BP = (3/4) * 8√2
BP = 6√2 cm

Langkah 3: Cari panjang OP, dimana O adalah pusat alas (titik potong diagonal AC dan BD).
Karena ABCD adalah persegi, O adalah titik tengah diagonal BD. Jadi, BO = OD = BD/2.
BO = (8√2) / 2 = 4√2 cm

Karena P pada BD dan BP = 6√2, maka P terletak di luar segmen BO jika diukur dari B. Namun, jika kita melihat rasio BP:BD=3:4, P terletak di antara B dan D. Jarak P dari pusat O adalah:
OP = |BO - BP| atau OP = |BP - BO| tergantung posisi P relatif terhadap O.
Karena BP = 6√2 dan BO = 4√2, maka P lebih dekat ke D. Jadi, P berada di antara O dan D.
OP = BP - BO = 6√2 - 4√2 = 2√2 cm.

Langkah 4: Cari tinggi limas TO.
Perhatikan segitiga siku-siku TOA. OA adalah setengah dari diagonal AC. Karena ABCD persegi, AC = BD = 8√2 cm.
OA = AC/2 = (8√2)/2 = 4√2 cm.

Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku TOA:
TA^2 = TO^2 + OA^2
(4√6)^2 = TO^2 + (4√2)^2
(16 * 6) = TO^2 + (16 * 2)
96 = TO^2 + 32
TO^2 = 96 - 32
TO^2 = 64
TO = √64 = 8 cm

Langkah 5: Cari panjang TP.
Perhatikan segitiga siku-siku TOP (karena TO tegak lurus dengan alas, termasuk garis BD yang melaluinya).
TP^2 = TO^2 + OP^2
TP^2 = 8^2 + (2√2)^2
TP^2 = 64 + (4 * 2)
TP^2 = 64 + 8
TP^2 = 72
TP = √72 = √(36 * 2) = 6√2 cm

Jadi, panjang garis TP adalah 6√2 cm.