Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem berikut

Himpunan penyelesaiannya adalah (1/11, 1/4, 1/29).

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut, kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Mari kita gunakan metode eliminasi.

Persamaan 1: 4yz + 4xz - 2xy = 2xyz
Persamaan 2: 4yz - 4xz - xy = -xyz
Persamaan 3: 3yz + 6xz - 2xy = -xyz

Kita dapat membagi setiap persamaan dengan 'xyz' (dengan asumsi x, y, z bukan nol) untuk menyederhanakannya menjadi bentuk yang lebih mudah dikelola:

Persamaan 1': 4/x + 4/y - 2/z = 2
Persamaan 2': 4/x - 4/y - 1/z = -1
Persamaan 3': 3/x + 6/y - 2/z = -1

Sekarang, mari kita gunakan substitusi: a = 1/x, b = 1/y, c = 1/z.

Persamaan A: 4a + 4b - 2c = 2  => 2a + 2b - c = 1
Persamaan B: 4a - 4b - c = -1
Persamaan C: 3a + 6b - 2c = -1

Dari Persamaan A, kita bisa mendapatkan c = 2a + 2b - 1.
Substitusikan c ke Persamaan B:
4a - 4b - (2a + 2b - 1) = -1
4a - 4b - 2a - 2b + 1 = -1
2a - 6b = -2
a - 3b = -1  => a = 3b - 1

Substitusikan c ke Persamaan C:
3a + 6b - 2(2a + 2b - 1) = -1
3a + 6b - 4a - 4b + 2 = -1
-a + 2b = -3
a - 2b = 3

Sekarang kita memiliki dua persamaan baru dengan a dan b:
1) a = 3b - 1
2) a - 2b = 3

Substitusikan (1) ke (2):
(3b - 1) - 2b = 3
b - 1 = 3
b = 4

Sekarang cari nilai a:
a = 3b - 1 = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11

Sekarang cari nilai c:
c = 2a + 2b - 1 = 2(11) + 2(4) - 1 = 22 + 8 - 1 = 29

Karena a = 1/x, b = 1/y, c = 1/z:
x = 1/a = 1/11
y = 1/b = 1/4
z = 1/c = 1/29

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (1/11, 1/4, 1/29).