Diketahui matriks A=(7 1 -1 -2); B=(-2 -8 2k+1 5); C=(3 7 2

Nilai k adalah -1.

Pembahasan

Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -2 & -8 \\ 2k+1 & 5 \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$.

Kita diberikan persamaan $A+B=C^{-1}$. Pertama, kita hitung $A+B$:
$$ A+B = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & -8 \\ 2k+1 & 5 \end{pmatrix} $$ 
$$ A+B = \begin{pmatrix} 7+(-2) & 1+(-8) \\ -1+(2k+1) & -2+5 \end{pmatrix} $$ 
$$ A+B = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ 2k & 3 \end{pmatrix} $$ 

Selanjutnya, kita hitung invers dari matriks C, yaitu $C^{-1}$. Rumus invers matriks 2x2 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Untuk matriks C, $a=3$, $b=7$, $c=2$, $d=5$.
Determinan C ($ad-bc$) = $(3)(5) - (7)(2) = 15 - 14 = 1$.

Maka, $C^{-1}$ adalah:
$$ C^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} $$ 

Sekarang kita samakan $A+B$ dengan $C^{-1}$:
$$ \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ 2k & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} $$ 

Dengan menyamakan elemen-elemen matriks yang bersesuaian, kita dapatkan:

Elemen baris 1, kolom 1: $5 = 5$ (sesuai)
Elemen baris 1, kolom 2: $-7 = -7$ (sesuai)
Elemen baris 2, kolom 1: $2k = -2$
Elemen baris 2, kolom 2: $3 = 3$ (sesuai)

Dari elemen baris 2, kolom 1, kita dapat menyelesaikan untuk k:
$2k = -2$
$k = \frac{-2}{2}$
$k = -1$

Jadi, nilai k adalah -1.