Diketahui segitiga PQR dengan P(2,1,3), Q(-2,3,-2), dan

sin Q = sqrt(3810) / 75

Pembahasan

Untuk mencari nilai sin Q pada segitiga PQR, kita perlu menggunakan aturan cosinus terlebih dahulu untuk mencari nilai cos Q.

Diketahui:
P(2,1,3), Q(-2,3,-2), R(5,-2,-3)

Rumus jarak antar titik (vektor):
QR = R - Q = (5 - (-2), -2 - 3, -3 - (-2)) = (7, -5, -1)
PQ = Q - P = (-2 - 2, 3 - 1, -2 - 3) = (-4, 2, -5)

Panjang sisi:
|QR| = sqrt(7^2 + (-5)^2 + (-1)^2) = sqrt(49 + 25 + 1) = sqrt(75)
|PQ| = sqrt((-4)^2 + 2^2 + (-5)^2) = sqrt(16 + 4 + 25) = sqrt(45)
|PR| = sqrt((5-2)^2 + (-2-1)^2 + (-3-3)^2) = sqrt(3^2 + (-3)^2 + (-6)^2) = sqrt(9 + 9 + 36) = sqrt(54)

Aturan Cosinus untuk mencari cos Q:
PR^2 = PQ^2 + QR^2 - 2 * PQ * QR * cos Q
54 = 45 + 75 - 2 * sqrt(45) * sqrt(75) * cos Q
54 = 120 - 2 * sqrt(3375) * cos Q
2 * sqrt(3375) * cos Q = 120 - 54
2 * sqrt(3375) * cos Q = 66
cos Q = 66 / (2 * sqrt(3375))
cos Q = 33 / sqrt(3375)
cos Q = 33 / (15 * sqrt(15))
cos Q = 11 / (5 * sqrt(15))
cos Q = (11 * sqrt(15)) / (5 * 15)
cos Q = (11 * sqrt(15)) / 75

Untuk mencari sin Q, kita gunakan identitas sin^2 Q + cos^2 Q = 1:
sin^2 Q = 1 - cos^2 Q
sin^2 Q = 1 - ((11 * sqrt(15)) / 75)^2
sin^2 Q = 1 - (121 * 15) / 5625
sin^2 Q = 1 - 1815 / 5625
sin^2 Q = (5625 - 1815) / 5625
sin^2 Q = 3810 / 5625
sin Q = sqrt(3810 / 5625)
sin Q = sqrt(3810) / 75
sin Q = sqrt(254 * 15) / 75
sin Q = sqrt(254) * sqrt(15) / 75