Diketahui suatu bangun setengah lingkaran dengan diameter

Dengan diameter PQ = 3y (jari-jari = 3y/2), volume benda putar (setengah bola) adalah (9/4)pi*y^3, bukan 9/2 pi y^3. Terdapat kemungkinan kesalahan pada soal.

Pembahasan

Diketahui bangun setengah lingkaran dengan diameter PQ. Panjang PQ adalah 3y.

Ketika bangun setengah lingkaran diputar 360 derajat dengan sumbu putar diameter PQ, akan terbentuk bangun setengah bola (hemisphere).

Rumus volume setengah bola adalah V = (2/3) * pi * r^3, di mana r adalah jari-jari.

Dalam kasus ini, diameter PQ = 3y, sehingga jari-jarinya adalah r = (3y)/2.

Sekarang kita substitusikan nilai jari-jari ke dalam rumus volume setengah bola:
V = (2/3) * pi * ((3y)/2)^3
V = (2/3) * pi * (27y^3 / 8)
V = (2 * pi * 27y^3) / (3 * 8)
V = (54 * pi * y^3) / 24

Kita bisa menyederhanakan pecahan ini dengan membagi pembilang dan penyebut dengan faktor persekutuan terbesar mereka, yaitu 6:
V = (9 * pi * y^3) / 4

Namun, soal meminta untuk membuktikan bahwa volume benda putar tersebut adalah 9/2 * pi * y^3. Mari kita periksa kembali perhitungannya.

Oh, ada kesalahan dalam soal yang diberikan. Jika diameter adalah 3y, maka jari-jarinya adalah (3y)/2. Volume setengah bola adalah (2/3) * pi * r^3.

V = (2/3) * pi * ((3y)/2)^3
V = (2/3) * pi * (27y^3/8)
V = (54/24) * pi * y^3
V = (9/4) * pi * y^3

Jika kita ingin volume benda putar tersebut adalah 9/2 * pi * y^3, maka jari-jarinya seharusnya adalah r = (3y)/∛2. Hal ini tidak sesuai dengan deskripsi soal yang menyatakan diameter PQ adalah 3y.

Mari kita asumsikan ada kesalahan ketik pada soal dan seharusnya jari-jarinya adalah r = (3y)/2, maka volume benda putar (setengah bola) adalah (9/4) * pi * y^3. Jika soal asli memang benar dan ingin membuktikan volume 9/2 * pi * y^3, maka ada informasi yang kurang atau salah pada soal.

Namun, berdasarkan informasi yang diberikan (diameter PQ = 3y, yang berarti jari-jari r = 3y/2) dan memutar setengah lingkaran, kita mendapatkan volume setengah bola:
V = (2/3) * pi * r^3 = (2/3) * pi * (3y/2)^3 = (2/3) * pi * (27y^3/8) = 54pi*y^3 / 24 = (9/4)pi*y^3.

Kesimpulan: Dengan diameter PQ = 3y, volume benda putar (setengah bola) adalah (9/4)pi*y^3, bukan 9/2 pi y^3.