Diketahui vektor-vektor a, b, c, yang memenuhi sistem

|b| = (√6+√2)/2 dan |c| = √2

Pembahasan

Misalkan a, b, dan c adalah vektor yang memenuhi a + b + c = 0. Dari persamaan ini, kita dapatkan c = -(a+b).

Diketahui perbandingan hasil kali titik (dot product): (a.b):(b.c):(c.a) = 1:√3:(√3-2).
Kita juga tahu bahwa jika |a|=1.

Mari kita substitusikan c = -(a+b) ke dalam persamaan hasil kali titik:
b.c = b.(-(a+b)) = -b.a - b.b = -(a.b) - |b|^2
c.a = -(a+b).a = -a.a - b.a = -|a|^2 - (a.b)

Karena |a|=1, maka c.a = -1 - (a.b).

Dari perbandingan yang diberikan:
1. a.b = k
2. b.c = k√3
3. c.a = k(√3-2)

Substitusikan c.a = -1 - (a.b) ke persamaan 3:
k(√3-2) = -1 - k
k√3 - 2k = -1 - k
k√3 - k = -1
k(√3 - 1) = -1
k = -1 / (√3 - 1)
Untuk merasionalkan penyebutnya, kalikan dengan (√3 + 1) / (√3 + 1):
k = -(√3 + 1) / ((√3)^2 - 1^2) = -(√3 + 1) / (3 - 1) = -(√3 + 1) / 2

Sekarang kita punya nilai k, kita bisa mencari a.b = -(√3 + 1) / 2.

Selanjutnya, kita gunakan persamaan b.c = k√3:
b.c = (-(√3 + 1) / 2) * √3 = -(3 + √3) / 2

Kita juga tahu b.c = -(a.b) - |b|^2:
-(3 + √3) / 2 = - (-(√3 + 1) / 2) - |b|^2
-(3 + √3) / 2 = (√3 + 1) / 2 - |b|^2
|b|^2 = (√3 + 1) / 2 + (3 + √3) / 2
|b|^2 = (√3 + 1 + 3 + √3) / 2
|b|^2 = (4 + 2√3) / 2
|b|^2 = 2 + √3

Sekarang kita cari c.a = k(√3 - 2):
c.a = (-(√3 + 1) / 2) * (√3 - 2)
c.a = -( (√3)^2 - 2√3 + √3 - 2 ) / 2
c.a = -( 3 - √3 - 2 ) / 2
c.a = -( 1 - √3 ) / 2
c.a = (√3 - 1) / 2

Kita juga tahu c.a = -|a|^2 - (a.b):
c.a = -1 - (-(√3 + 1) / 2)
c.a = -1 + (√3 + 1) / 2
c.a = (-2 + √3 + 1) / 2
c.a = (√3 - 1) / 2
Ini konsisten.

Untuk mencari nilai dari ... (pertanyaan tidak lengkap, asumsi yang dicari adalah |b| atau |c| atau kuadrat dari panjang vektor tersebut).
Jika yang dicari adalah |b|^2, maka jawabannya adalah 2 + √3.
Jika yang dicari adalah |b|, maka |b| = √(2 + √3).
Untuk menyederhanakan √(2 + √3):
√(2 + √3) = √((4 + 2√3)/2) = √( ( (√3+1)^2 ) / 2 ) = (√3+1)/√2 = (√6+√2)/2.

Jika yang dicari adalah |c|^2:
Kita tahu c = -(a+b).
|c|^2 = c.c = (-(a+b)).(-(a+b)) = (a+b).(a+b) = a.a + 2a.b + b.b
|c|^2 = |a|^2 + 2(a.b) + |b|^2
|c|^2 = 1 + 2(-(√3 + 1) / 2) + (2 + √3)
|c|^2 = 1 - (√3 + 1) + 2 + √3
|c|^2 = 1 - √3 - 1 + 2 + √3
|c|^2 = 2.
Jadi, |c| = √2.