Diketahui y=x^2-2x-(m-2). Tentukan batas-batas nilai m agar

Tidak ada nilai m yang memenuhi

Pembahasan

Soal ini adalah soal matematika tingkat lanjut yang melibatkan fungsi kuadrat dan kondisi pada akar-akarnya.

Fungsi yang diberikan adalah y = x² - 2x - (m - 2).
Ini bisa ditulis ulang sebagai y = x² - 2x - m + 2.

Kita ingin kedua titik potong fungsi ini dengan sumbu x terletak di antara titik (2,0) dan (4,0). Ini berarti akar-akar persamaan kuadrat x² - 2x - m + 2 = 0 harus berada di interval (2, 4).

Misalkan akar-akarnya adalah x₁ dan x₂. Kita menginginkan 2 < x₁ < 4 dan 2 < x₂ < 4.

Untuk sebuah fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c, kondisi agar kedua akar berada di antara p dan q adalah:
1. Diskriminan (D) harus positif (agar ada dua akar riil yang berbeda), D > 0.
2. a * f(p) > 0
3. a * f(q) > 0
4. Posisikan sumbu simetri (sumbu simetri = -b/2a) di antara p dan q.

Dalam kasus ini, f(x) = x² - 2x - m + 2, sehingga a = 1, b = -2, dan c = -m + 2.

Langkah 1: Hitung Diskriminan (D).
D = b² - 4ac
D = (-2)² - 4(1)(-m + 2)
D = 4 - 4(-m + 2)
D = 4 + 4m - 8
D = 4m - 4
Agar ada dua akar riil yang berbeda, D > 0.
4m - 4 > 0
4m > 4
m > 1

Langkah 2: Periksa kondisi pada titik ujung interval (p=2 dan q=4).

Kondisi 2: a * f(2) > 0
Karena a = 1 (positif), kita perlu f(2) > 0.
f(2) = (2)² - 2(2) - m + 2
f(2) = 4 - 4 - m + 2
f(2) = -m + 2
Jadi, -m + 2 > 0
2 > m
m < 2

Kondisi 3: a * f(4) > 0
Karena a = 1 (positif), kita perlu f(4) > 0.
f(4) = (4)² - 2(4) - m + 2
f(4) = 16 - 8 - m + 2
f(4) = 8 - m + 2
f(4) = 10 - m
Jadi, 10 - m > 0
10 > m
m < 10

Langkah 4: Periksa posisi sumbu simetri.
Sumbu simetri (x_s) = -b / 2a
x_s = -(-2) / (2 * 1)
x_s = 2 / 2
x_s = 1

Periksa apakah sumbu simetri terletak di antara 2 dan 4: 2 < x_s < 4.
Dalam kasus ini, sumbu simetri adalah 1, yang TIDAK terletak di antara 2 dan 4.
Ini berarti bahwa tidak mungkin kedua akar terletak di antara 2 dan 4 jika sumbu simetri berada di luar interval tersebut. Sebuah parabola dengan sumbu simetri di x=1 yang terbuka ke atas (karena a=1 positif) akan memiliki nilai minimum di x=1. Jika kedua akar berada di antara 2 dan 4, maka puncaknya harus berada di antara 2 dan 4.

Mari kita tinjau ulang pemahaman soal. Jika kedua titik potong sumbu x (yaitu, akar-akarnya) terletak di antara (2,0) dan (4,0), ini berarti akar-akarnya, x₁ dan x₂, harus memenuhi 2 < x₁ < 4 dan 2 < x₂ < 4.

Kondisi yang benar untuk akar-akar berada di antara p dan q adalah:
1. D > 0
2. a * f(p) > 0
3. a * f(q) > 0
4. p < sumbu simetri < q

Kita sudah menghitung:
1. m > 1 (dari D > 0)
2. m < 2 (dari f(2) > 0)
3. m < 10 (dari f(4) > 0)
4. Sumbu simetri = 1. Kondisi p < sumbu simetri < q menjadi 2 < 1 < 4, yang SALAH.

Karena kondisi sumbu simetri tidak terpenuhi, maka tidak ada nilai m yang memenuhi syarat bahwa kedua titik potong sumbu x terletak di antara (2,0) dan (4,0) dengan sumbu simetri di x=1.

Namun, jika soal tersebut dimaksudkan untuk interpretasi lain, misalnya salah satu akar di antara 2 dan 4, atau fungsi memotong sumbu x pada titik-titik yang koordinat x-nya berada di antara 2 dan 4, maka pendekatannya bisa berbeda.

Berdasarkan interpretasi standar dari "kedua titik potong ... terletak di antara titik (2,0) dan (4,0)", yang berarti akar-akarnya (nilai x saat y=0) berada di antara 2 dan 4, maka tidak ada solusi.

Mari kita periksa apakah ada kemungkinan kesalahan dalam interpretasi atau perhitungan.
Jika parabola terbuka ke atas (a=1) dan sumbu simetrinya di x=1, maka nilai fungsi akan meningkat seiring dengan peningkatan x dari 1. Jadi, untuk x > 1, f(x) akan meningkat. Jika f(2) > 0 dan f(4) > 0, serta akar-akarnya real, maka kedua akar pasti lebih kecil dari 2 (jika sumbu simetri < 2) atau kedua akar lebih besar dari 4 (jika sumbu simetri > 4) atau satu akar di setiap sisi sumbu simetri.

Dalam kasus ini, sumbu simetri adalah 1. Agar kedua akar berada di antara 2 dan 4, maka haruslah f(2) > 0 dan f(4) > 0, DAN sumbu simetri harus berada di antara 2 dan 4. Karena sumbu simetri adalah 1, maka kedua akar tidak mungkin berada di antara 2 dan 4.

Kesimpulan: Tidak ada nilai m yang memenuhi syarat.