Grafik fungsi y=(x^2-5x-6)/(x^2+x-6) berada ....

Memiliki asimtot vertikal di x=-3 dan x=2, serta asimtot horizontal di y=1.

Pembahasan

Untuk menentukan posisi grafik fungsi y=(x^2-5x-6)/(x^2+x-6), kita perlu menganalisis beberapa aspek:

1.  **Asimtot Vertikal:** Cari nilai x yang membuat penyebut bernilai nol.
x^2 + x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
x = -3 atau x = 2
Karena faktor (x+3) dan (x-2) tidak dapat disederhanakan dengan faktor di pembilang, maka terdapat asimtot vertikal di x = -3 dan x = 2.

2.  **Asimtot Horizontal:** Bandingkan derajat pembilang dan penyebut.
Derajat pembilang = 2 (dari x^2)
Derajat penyebut = 2 (dari x^2)
Karena derajat pembilang sama dengan derajat penyebut, maka asimtot horizontalnya adalah perbandingan koefisien suku berpangkat tertinggi.
Asimtot horizontal: y = koefisien x^2 di pembilang / koefisien x^2 di penyebut = 1/1 = 1.
Jadi, terdapat asimtot horizontal di y = 1.

3.  **Perilaku Fungsi:** Kita juga bisa melihat faktor-faktornya.
Pembilang: x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1)
Penyebut: x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)

Fungsi dapat ditulis sebagai: y = ((x - 6)(x + 1)) / ((x + 3)(x - 2))

Tidak ada faktor yang sama antara pembilang dan penyebut, yang berarti tidak ada lubang (hole) pada grafik.

Berdasarkan analisis di atas, grafik fungsi y=(x^2-5x-6)/(x^2+x-6) memiliki asimtot vertikal di x = -3 dan x = 2, serta asimtot horizontal di y = 1.

Grafik fungsi ini akan mendekati garis x = -3 dan x = 2 tanpa pernah menyentuhnya dari sisi-sisi tertentu, dan akan mendekati garis y = 1 saat nilai x menjadi sangat besar (positif atau negatif).