Hasil dari (2 (3 (3 (3 (...)^(1/2))^(1/2))^(1/2))x4 (5 (5

3

Pembahasan

Soal ini melibatkan penyelesaian ekspresi matematika yang kompleks dengan pola berulang.
Mari kita analisis bagian-bagian ekspresi:
Bagian 1: 2 (3 (3 (3 (...)^(1/2))^(1/2))^(1/2))
Misalkan y = (3 (3 (3 (...)^(1/2))^(1/2))^(1/2)). Maka y = (3 * y^(1/2))^(1/2). Kuadratkan kedua sisi: y^2 = 3 * y^(1/2). Bagi kedua sisi dengan y^(1/2): y^(3/2) = 3. Pangkatkan kedua sisi dengan 2/3: y = 3^(2/3).
Jadi, bagian pertama menjadi 2 * 3^(2/3).

Bagian 2: 4 (5 (5 (5 (...)^(1/2))^(1/2))^(1/2))
Dengan cara yang sama, misalkan z = (5 (5 (5 (...)^(1/2))^(1/2))^(1/2)). Maka z = (5 * z^(1/2))^(1/2). Kuadratkan kedua sisi: z^2 = 5 * z^(1/2). Bagi kedua sisi dengan z^(1/2): z^(3/2) = 5. Pangkatkan kedua sisi dengan 2/3: z = 5^(2/3).
Jadi, bagian kedua menjadi 4 * 5^(2/3).

Bagian 3: 8 (9 (9 (9 (...)^(1/2))^(1/2))^(1/2))
Misalkan p = (9 (9 (9 (...)^(1/2))^(1/2))^(1/2)). Maka p = (9 * p^(1/2))^(1/2). Kuadratkan kedua sisi: p^2 = 9 * p^(1/2). Bagi kedua sisi dengan p^(1/2): p^(3/2) = 9. Pangkatkan kedua sisi dengan 2/3: p = 9^(2/3) = (3^2)^(2/3) = 3^(4/3).
Jadi, bagian ketiga menjadi 8 * 3^(4/3).

Bagian 4: 4 (8 (8 (8 (...)^(1/2))^(1/2))^(1/2))
Misalkan q = (8 (8 (8 (...)^(1/2))^(1/2))^(1/2)). Maka q = (8 * q^(1/2))^(1/2). Kuadratkan kedua sisi: q^2 = 8 * q^(1/2). Bagi kedua sisi dengan q^(1/2): q^(3/2) = 8. Pangkatkan kedua sisi dengan 2/3: q = 8^(2/3) = (2^3)^(2/3) = 2^2 = 4.
Jadi, bagian keempat menjadi 4 * 4 = 16.

Sekarang kita susun kembali ekspresinya:
(2 * 3^(2/3) * 4 * 5^(2/3)) / (8 * 3^(4/3) - 16)
= (8 * (3*5)^(2/3)) / (8 * 3^(4/3) - 16)
= (8 * 15^(2/3)) / (8 * 3^(4/3) - 16)

Perlu dicatat bahwa jika pola (...) menunjukkan akar kuadrat berulang tanpa batas, maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
Misal $x = \sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a ...}}}$, maka $x = \sqrt{a x}$. Kuadratkan kedua sisi: $x^2 = ax$. Karena $x \neq 0$, maka $x = a$.
Namun, dalam soal ini ada perkalian di dalam akar, seperti (3 (3 (...)^(1/2))^(1/2)). Jika kita asumsikan ini adalah $y = \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 ...}}}$, maka $y = \sqrt{3y}$, $y^2 = 3y$, sehingga $y = 3$.
Dengan asumsi ini:
Bagian 1: 2 * 3 = 6
Bagian 2: 4 * 5 = 20
Bagian 3: 8 * 9 = 72
Bagian 4: 4 * 8 = 32

Maka ekspresi menjadi: (6 * 20) / (72 - 32) = 120 / 40 = 3.

Namun, interpretasi yang lebih mungkin dari "(3 (3 (3 (...)^(1/2))^(1/2))^(1/2))" adalah $y = \sqrt[2]{3 \sqrt[2]{3 \sqrt[2]{3 ...}}}$.
Ini adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a = \sqrt[2]{3}$ dan rasio $r = \sqrt[2]{3}$. Jumlahnya tidak konvergen.

Mari kita kembali ke interpretasi pertama yang lebih matematis:
$y = (3 y^{1/2})^{1/2} 
ightarrow y = 3^{1/2} y^{1/4} 
ightarrow y^{3/4} = 3^{1/2} 
ightarrow y = (3^{1/2})^{4/3} = 3^{2/3}$.
$z = (5 z^{1/2})^{1/2} 
ightarrow z = 5^{1/2} z^{1/4} 
ightarrow z^{3/4} = 5^{1/2} 
ightarrow z = (5^{1/2})^{4/3} = 5^{2/3}$.
$p = (9 p^{1/2})^{1/2} 
ightarrow p = 9^{1/2} p^{1/4} 
ightarrow p^{3/4} = 9^{1/2} = 3 
ightarrow p = 3^{4/3}$.
$q = (8 q^{1/2})^{1/2} 
ightarrow q = 8^{1/2} q^{1/4} 
ightarrow q^{3/4} = 8^{1/2} = (2^3)^{1/2} = 2^{3/2} 
ightarrow q = (2^{3/2})^{4/3} = 2^2 = 4$.

Ekspresi menjadi: (2 * 3^(2/3) * 4 * 5^(2/3)) / (8 * 3^(4/3) - 4 * 4)
= (8 * (15)^(2/3)) / (8 * 3^(4/3) - 16)
Ini adalah bentuk yang paling akurat berdasarkan notasi yang diberikan, namun tidak menghasilkan jawaban numerik yang sederhana.

Jika kita mengasumsikan bahwa soal ini mengacu pada struktur $x = \sqrt[n]{a \sqrt[n]{a \sqrt[n]{a ...}}}$, maka $x = a^{1/(n-1)}$.
Dalam kasus ini, n=2.
Maka $y = 3^{1/(2-1)} = 3^1 = 3$.
$z = 5^{1/(2-1)} = 5^1 = 5$.
$p = 9^{1/(2-1)} = 9^1 = 9$.
$q = 8^{1/(2-1)} = 8^1 = 8$.

Dengan asumsi ini:
Ekspresi = (2 * 3 * 4 * 5) / (8 * 9 - 4 * 8)
= (120) / (72 - 32)
= 120 / 40
= 3.