Hasil Iimit x -> 0 (x^2 sin 2x)/(cos 4x-1)tan x adalah . .

Hasil limit adalah -1/4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(2x)}{( \cos(4x) - 1 ) \tan(x)}$, kita dapat menggunakan beberapa identitas trigonometri dan sifat limit. Pertama, kita ubah $\tan(x)$ menjadi $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Maka limit menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(2x)}{(\cos(4x) - 1) \frac{\sin(x)}{\cos(x)}}$. Kita juga gunakan identitas $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ dan $\cos(4x) - 1 = -2 \sin^2(2x)$. Dengan substitusi ini, limit menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (2 \sin(x) \cos(x)) \cos(x)}{(-2 \sin^2(2x)) \sin(x)}$. Menggunakan $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ lagi, $\sin^2(2x) = 4 \sin^2(x) \cos^2(x)$. Limit menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{2 x^2 \sin(x) \cos^2(x)}{-2 (4 \sin^2(x) \cos^2(x)) \sin(x)}$. Setelah menyederhanakan, kita dapatkan $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{-4 \sin^2(x) \cos^2(x)}$. Menggunakan sifat $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$, maka $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2(x)} = 1$. Jadi, limitnya adalah $\frac{1}{-4 \cos^2(0)} = \frac{1}{-4(1)^2} = -\frac{1}{4}$. Hasil limit adalah -1/4.