Himpunan penyelesaian dari sin 3x=cos x untuk 0<=x<=360

Himpunan penyelesaiannya adalah {22.5°, 45°, 112.5°, 202.5°, 225°, 292.5°}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan sin 3x = cos x, kita perlu mengubah salah satu fungsi trigonometri agar basis sudutnya sama. Kita bisa menggunakan identitas cos x = sin(90° - x) atau cos x = sin(π/2 - x) dalam radian.

Karena domain diberikan dalam derajat (0 <= x <= 360), kita akan gunakan versi derajat.
Jadi, persamaan menjadi: sin 3x = sin(90° - x).

Dari sini, ada dua kemungkinan solusi umum:
1. 3x = (90° - x) + n * 360°
2. 3x = 180° - (90° - x) + n * 360°

Mari kita selesaikan masing-masing kasus:

Kasus 1: 3x = 90° - x + n * 360°
   4x = 90° + n * 360°
   x = 90°/4 + (n * 360°)/4
   x = 22.5° + n * 90°
   Untuk n=0, x = 22.5°
   Untuk n=1, x = 22.5° + 90° = 112.5°
   Untuk n=2, x = 22.5° + 180° = 202.5°
   Untuk n=3, x = 22.5° + 270° = 292.5°
   Untuk n=4, x = 22.5° + 360° = 382.5° (di luar domain)

Kasus 2: 3x = 180° - (90° - x) + n * 360°
   3x = 180° - 90° + x + n * 360°
   3x = 90° + x + n * 360°
   2x = 90° + n * 360°
   x = 90°/2 + (n * 360°)/2
   x = 45° + n * 180°
   Untuk n=0, x = 45°
   Untuk n=1, x = 45° + 180° = 225°
   Untuk n=2, x = 45° + 360° = 405° (di luar domain)

Menggabungkan semua solusi yang berada dalam domain 0 <= x <= 360:
{22.5°, 45°, 112.5°, 202.5°, 225°, 292.5°}

Periksa kembali menggunakan identitas sin A = cos B jika A + B = 90° atau A = 90° - B.
Dalam kasus kita, 3x + x = 4x. Jika 3x = 90 - x, maka 4x = 90, x = 22.5.

Kita juga bisa menggunakan identitas cos x = sin(π/2 - x).
Atau sin 3x = cos x bisa diubah menjadi sin 3x = sin(π/2 - x).
Ini memberikan 3x = π/2 - x + 2nπ atau 3x = π - (π/2 - x) + 2nπ.

Dari 3x = π/2 - x + 2nπ -> 4x = π/2 + 2nπ -> x = π/8 + nπ/2.
Untuk n=0, x = π/8 (22.5°).
Untuk n=1, x = π/8 + π/2 = 5π/8 (112.5°).
Untuk n=2, x = π/8 + π = 9π/8 (202.5°).
Untuk n=3, x = π/8 + 3π/2 = 13π/8 (292.5°).

Dari 3x = π - (π/2 - x) + 2nπ -> 3x = π/2 + x + 2nπ -> 2x = π/2 + 2nπ -> x = π/4 + nπ.
Untuk n=0, x = π/4 (45°).
Untuk n=1, x = π/4 + π = 5π/4 (225°).

Himpunan penyelesaiannya adalah {22.5°, 45°, 112.5°, 202.5°, 225°, 292.5°}.