Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (2-sin theta)/cos

Himpunan penyelesaiannya adalah (0, π/6].

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan (2-sin θ)/cos θ ≤ cos θ/sin θ untuk 0 < θ < π/2.
Langkah pertama adalah membawa semua suku ke satu sisi:
(2-sin θ)/cos θ - cos θ/sin θ ≤ 0
Samakan penyebutnya:
[sin θ(2-sin θ) - cos^2 θ] / (sin θ cos θ) ≤ 0
[2 sin θ - sin^2 θ - cos^2 θ] / (sin θ cos θ) ≤ 0
Kita tahu bahwa sin^2 θ + cos^2 θ = 1, jadi:
[2 sin θ - (sin^2 θ + cos^2 θ)] / (sin θ cos θ) ≤ 0
[2 sin θ - 1] / (sin θ cos θ) ≤ 0
Untuk 0 < θ < π/2, kita tahu bahwa:
sin θ > 0
cos θ > 0
Oleh karena itu, sin θ cos θ > 0.
Pertidaksamaan menjadi:
2 sin θ - 1 ≤ 0
2 sin θ ≤ 1
sin θ ≤ 1/2
Dalam rentang 0 < θ < π/2, nilai θ yang memenuhi sin θ ≤ 1/2 adalah 0 < θ ≤ π/6.
Maka himpunan penyelesaiannya adalah (0, π/6].