Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2/(|x-1|) < 1/(|x+1|)

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | -3 < x < -1 atau -1 < x < -1/3}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan 2/(|x-1|) < 1/(|x+1|), kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan nilai mutlak:

Karena penyebut tidak boleh nol, maka |x-1| ≠ 0 (x ≠ 1) dan |x+1| ≠ 0 (x ≠ -1).

Kita kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan nilai mutlak:
(2/(|x-1|))^2 < (1/(|x+1|))^2
4/(x-1)^2 < 1/(x+1)^2
4(x+1)^2 < (x-1)^2
4(x^2 + 2x + 1) < x^2 - 2x + 1
4x^2 + 8x + 4 < x^2 - 2x + 1
4x^2 - x^2 + 8x + 2x + 4 - 1 < 0
3x^2 + 10x + 3 < 0

Kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat 3x^2 + 10x + 3 = 0.
Kita bisa memfaktorkannya: (3x + 1)(x + 3) = 0
Maka, akarnya adalah x = -1/3 dan x = -3.

Pertidaksamaan 3x^2 + 10x + 3 < 0 berarti kita mencari nilai x di mana parabola terbuka ke atas berada di bawah sumbu x. Ini terjadi di antara akar-akarnya.

Jadi, -3 < x < -1/3.

Namun, kita harus ingat bahwa x ≠ 1 dan x ≠ -1. Nilai -1 sudah berada di dalam rentang -3 < x < -1/3. Sehingga kita perlu memisahkan rentang tersebut:

-3 < x < -1 atau -1 < x < -1/3.

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | -3 < x < -1 atau -1 < x < -1/3}.