Himpunan penyelesaian (x^2)^x>=x^(4x-x^2) adalah ....

Himpunan penyelesaiannya adalah (0, 1] U [2, infinity).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (x^2)^x >= x^(4x-x^2), kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan nilai x.

Kasus 1: x = 1
Jika x = 1, maka (1^2)^1 >= 1^(4*1 - 1^2) => 1^1 >= 1^3 => 1 >= 1. Pernyataan ini benar.

Kasus 2: x > 0 dan x != 1
Kita bisa menyederhanakan pertidaksamaan dengan mengambil logaritma natural (ln) pada kedua sisi. Namun, perlu diingat bahwa kita perlu membandingkan eksponennya.

Dari (x^2)^x >= x^(4x-x^2), kita dapat menyederhanakannya menjadi x^(2x) >= x^(4x-x^2).

Jika x > 1, maka kita bisa membandingkan eksponennya:
2x >= 4x - x^2
x^2 - 2x >= 0
x(x - 2) >= 0
Karena x > 1, maka x - 2 >= 0, yang berarti x >= 2.

Jika 0 < x < 1, maka arah pertidaksamaan berbalik ketika membandingkan eksponen:
2x <= 4x - x^2
x^2 - 2x <= 0
x(x - 2) <= 0
Karena 0 < x < 1, maka x > 0 dan x - 2 < 0. Hasil perkaliannya negatif, sehingga x(x - 2) <= 0 benar untuk 0 < x < 1.

Kasus 3: x < 0
Dalam kasus ini, basis x tidak selalu positif, sehingga kita perlu berhati-hati. Namun, jika kita menganggap x dapat berupa bilangan real apa pun, kita harus memastikan bahwa basisnya positif untuk eksponen real. Jika kita membatasi pada x yang membuat kedua sisi terdefinisi dengan baik untuk eksponen real, maka kita perlu x > 0.

Namun, jika kita menafsirkan soal ini dalam konteks bilangan real di mana x^n didefinisikan, kita bisa mempertimbangkan:
Jika x < 0, maka x^2 > 0. Kita bisa menulis ulang pertidaksamaan sebagai (x^2)^x >= x^(4x-x^2).
Ini menjadi x^(2x) >= x^(4x-x^2).

Jika x < 0, maka x^2 > 0. Kita bisa membagi eksponennya jika basisnya sama dan positif.

Mari kita kembali ke bentuk awal: (x^2)^x >= x^(4x-x^2).
Ini sama dengan x^(2x) >= x^(4x-x^2).

Jika kita hanya mempertimbangkan x > 0:

Jika x > 1:
2x >= 4x - x^2
x^2 - 2x >= 0
x(x-2) >= 0
Karena x > 1, maka x-2 >= 0, sehingga x >= 2.

Jika 0 < x < 1:
2x <= 4x - x^2
x^2 - 2x <= 0
x(x-2) <= 0
Karena 0 < x < 1, maka x > 0 dan x-2 < 0, sehingga x(x-2) < 0. Ini berarti pertidaksamaan berlaku untuk 0 < x < 1.

Menggabungkan kasus x=1, 0 < x < 1, dan x >= 2:
Himpunan penyelesaiannya adalah (0, 1] U [2, infinity).

Namun, kita harus memeriksa kembali apakah ada batasan lain. Jika kita perhatikan soal asli, (x^2)^x >= x^(4x-x^2), maka x tidak boleh sama dengan 0 karena akan menghasilkan 0^0 yang tidak terdefinisi atau 0 pangkat negatif yang juga bermasalah.

Jadi, kita mempertimbangkan x > 0.
Himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 0 dan (x^2)^x >= x^(4x-x^2)}.

Dari analisis di atas, untuk x > 0:
Jika x > 1, kita dapatkan x >= 2.
Jika 0 < x < 1, kita dapatkan 0 < x < 1.
Kita juga punya x = 1 yang memenuhi.

Menggabungkan hasil:
x = 1
0 < x < 1
x >= 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (0, 1] U [2, 
infinity).

Perlu dicek kembali apakah ada kasus lain yang terlewat atau interpretasi yang salah.