Tentukan integral berikut.a. integral x sin 6x^2 dx b.

a. -1/12 cos(6x^2) + C, b. 1/2 sin^2 x + C atau -1/4 cos(2x) + C

Pembahasan

Untuk menentukan integral dari fungsi yang diberikan, kita akan menggunakan metode substitusi atau aturan dasar integral.

a. Integral dari \(x \sin(6x^2) dx\)
   Misalkan \(u = 6x^2\). Maka, \(du = 12x dx\), atau \(x dx = \frac{1}{12} du\).
   Substitusikan ke dalam integral:
   ∫ \(\sin(u)\) \(\frac{1}{12} du\)
   = \(\frac{1}{12}\) ∫ \(\sin(u)\) \(du\)
   = \(\frac{1}{12}\) (-cos(u)) + C
   = \(-\frac{1}{12}\) cos(6x^2) + C

b. Integral dari \(\sin x \cos x dx\)
   Metode 1: Substitusi
   Misalkan \(u = \sin x\). Maka, \(du = \cos x dx\).
   Substitusikan ke dalam integral:
   ∫ \(u du\)
   = \(\frac{1}{2}\) u^2 + C
   = \(\frac{1}{2}\) \(\sin^2 x\) + C

   Metode 2: Menggunakan identitas trigonometri
   Kita tahu bahwa \(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x\). Jadi, \(\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)\).
   Substitusikan ke dalam integral:
   ∫ \(\frac{1}{2} \sin(2x) dx\)
   = \(\frac{1}{2}\) ∫ \(\sin(2x) dx\)
   Misalkan \(v = 2x\), maka \(dv = 2 dx\), atau \(dx = \frac{1}{2} dv\).
   = \(\frac{1}{2}\) ∫ \(\sin(v)\) \(\frac{1}{2} dv\)
   = \(\frac{1}{4}\) ∫ \(\sin(v) dv\)
   = \(\frac{1}{4}\) (-cos(v)) + C
   = \(-\frac{1}{4}\) cos(2x) + C

   Kedua hasil ini ekuivalen karena \(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x\). Maka, \(-\frac{1}{4}\) cos(2x) + C = \(-\frac{1}{4}\) (1 - 2\sin^2 x) + C = \(-\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{2}\) \(\sin^2 x\) + C. Konstanta \(-\frac{1}{4}\) dapat digabungkan ke dalam konstanta integrasi C.