Hitunglah setiap limit berikut ini. lim x-> o

Hasil limit adalah 8/125.

Pembahasan

Untuk menghitung limit berikut: lim x-> 0 x^3 cot^3(2x/5)

Kita bisa menggunakan sifat-sifat limit dan identitas trigonometri.

Ingat bahwa cot(θ) = 1/tan(θ). Maka, cot^3(2x/5) = 1/tan^3(2x/5).

Limit tersebut menjadi: lim x-> 0 x^3 * (1/tan^3(2x/5))
= lim x-> 0 (x^3) / (tan^3(2x/5))

Kita tahu bahwa limit standar lim y-> 0 (tan y)/y = 1. Untuk menggunakan ini, kita perlu memanipulasi bentuknya.
Kita bisa menulis ulang limit sebagai:
= lim x-> 0 [x^3 / (tan^3(2x/5))]

Kalikan pembilang dan penyebut dengan (2x/5)^3 agar sesuai dengan bentuk limit standar:
= lim x-> 0 [x^3 * (2x/5)^3] / [(tan^3(2x/5)) * (2x/5)^3]

Sederhanakan:
= lim x-> 0 [x^3 * (8x^3/125)] / [(tan(2x/5) / (2x/5))^3]
= lim x-> 0 [8x^6/125] / [1^3]
= lim x-> 0 (8x^6/125)

Ini sepertinya salah. Mari kita coba cara lain.

Kita tahu bahwa lim x-> 0 (tan(ax))/bx = a/b.
Kita punya: lim x-> 0 (x^3) / (tan^3(2x/5))

Kita bisa menulisnya sebagai:
= lim x-> 0 [x / tan(2x/5)]^3

Sekarang fokus pada bagian dalam kurung:
lim x-> 0 [x / tan(2x/5)]

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
= lim x-> 0 [1 / (tan(2x/5) / x)]

Kalikan pembilang dan penyebut di dalam tan dengan 2/5:
= lim x-> 0 [1 / ((5/2) * tan(2x/5) / (2x/5))]

Karena lim y-> 0 tan(y)/y = 1, maka:
= lim x-> 0 [1 / ((5/2) * 1)]
= lim x-> 0 [1 / (5/2)]
= 2/5.

Sekarang, kita kembali ke limit awal yang dipangkatkan tiga:
lim x-> 0 [x / tan(2x/5)]^3 = (2/5)^3
= 8/125.

Jadi, hasil dari lim x-> 0 x^3 cot^3(2x/5) adalah 8/125.