integral akar(1-cos x) dx=...

Hasil integralnya adalah ±2√2 cos(x/2) + C.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral dari √(1-cos x) dx, kita dapat menggunakan identitas trigonometri.
Identitas yang relevan adalah 1 - cos x = 2 sin^2(x/2).

Maka, integralnya menjadi:
∫√(1 - cos x) dx = ∫√(2 sin^2(x/2)) dx
= ∫√2 |sin(x/2)| dx

Karena kita tidak diberikan batas integrasi, kita akan mencari bentuk umum dari integral tak tentu. Dalam interval di mana sin(x/2) positif (misalnya, 0 < x/2 < π, atau 0 < x < 2π), kita dapat menghilangkan nilai absolut:
= ∫√2 sin(x/2) dx

Sekarang kita dapat mengintegralkan:
= √2 * ∫sin(x/2) dx

Misalkan u = x/2, maka du = (1/2) dx, atau dx = 2 du.
= √2 * ∫sin(u) (2 du)
= 2√2 * ∫sin(u) du
= 2√2 * (-cos(u)) + C
= -2√2 cos(x/2) + C

Jika sin(x/2) negatif (misalnya, π < x/2 < 2π, atau 2π < x < 4π), maka |sin(x/2)| = -sin(x/2).
∫√2 (-sin(x/2)) dx = -√2 ∫sin(x/2) dx
= -√2 * (-2 cos(x/2)) + C
= 2√2 cos(x/2) + C

Jadi, jawaban umumnya adalah ±2√2 cos(x/2) + C, tergantung pada interval x.