Jika 2log3=p dan 3log5=q, maka nilai dari 15log90 adalah

Gunakan sifat perubahan basis logaritma untuk mendapatkan $\frac{pq + 2p + 1}{p(q+1)}$.

Pembahasan

Diketahui ${ }^{2}\log{3}=p$ dan ${ }^{3}\log{5}=q$. Kita ingin mencari nilai dari ${ }^{15}\log{90}$.

Kita dapat menggunakan sifat perubahan basis logaritma, yaitu ${ }^{a}\log{b} = \frac{{ }^{c}\log{b}}{{ }^{c}\log{a}}$. Mari kita gunakan basis 3:

${ }^{15}\log{90} = \frac{{ }^{3}\log{90}}{{ }^{3}\log{15}}$

Sekarang kita uraikan 90 dan 15:
$90 = 9 \times 10 = 3^2 \times 2 	imes 5$
$15 = 3 	imes 5$

Maka:
${ }^{3}\log{90} = { }^{3}\log{(3^2 \times 2 	imes 5)} = { }^{3}\log{3^2} + { }^{3}\log{2} + { }^{3}\log{5}$
${ }^{3}\log{90} = 2 + { }^{3}\log{2} + q$

Kita perlu mencari nilai ${ }^{3}\log{2}$. Kita tahu bahwa ${ }^{2}\log{3} = p$, sehingga ${ }^{3}\log{2} = \frac{1}{{ }^{2}\log{3}} = \frac{1}{p}$.

Jadi, ${ }^{3}\log{90} = 2 + \frac{1}{p} + q = \frac{2p + 1 + pq}{p}$.

Sekarang kita uraikan penyebutnya:
${ }^{3}\log{15} = { }^{3}\log{(3 	imes 5)} = { }^{3}\log{3} + { }^{3}\log{5} = 1 + q$.

Akhirnya, substitusikan kembali ke dalam persamaan ${ }^{15}\log{90}$:
${ }^{15}\log{90} = \frac{{ }^{3}\log{90}}{{ }^{3}\log{15}} = \frac{\frac{2p + 1 + pq}{p}}{1 + q} = \frac{2p + 1 + pq}{p(1 + q)}$.

Jadi, nilai dari ${ }^{15}\log{90}$ adalah $\frac{pq + 2p + 1}{p(q+1)}$.